ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 34.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) \( \frac{x}{x — \frac{9}{x}} \)

2) \( \frac{x + 2}{|x| — x} + \frac{1}{x + 1} \)

3) \( \frac{1}{x^2 — \frac{1}{x}} \)

1) \( \frac{x}{x — \frac{9}{x}}. \)

Дробь имеет смысл при всех значениях \( x, \) кроме \( x = -3, \ x = 0 \) и \( x = 3. \)

Следовательно, областью определения выражения является множество всех чисел, кроме \( x = -3, \ x = 0 \) и \( x = 3. \)

2) \( \frac{x + 2}{|x| — x} + \frac{1}{x + 1}. \)

Выражение имеет смысл при всех значениях \( x, \) кроме \( x \ge 0 \) и \( x = -1. \)

Следовательно, областью определения выражения является множество всех чисел, кроме \( x \ge 0 \) и \( x = -1. \)

3) \( \frac{1}{x^2 — \frac{1}{x}}. \)

Выражение имеет смысл при всех значениях \( x, \) кроме \( x = 0 \) и \( x = 1. \)

Следовательно, областью определения выражения является множество всех чисел, кроме \( x = 0 \) и \( x = 1. \)

1) \( \frac{x}{x — \frac{9}{x}}. \)

Для того чтобы выражение \( \frac{x}{x — \frac{9}{x}} \) имело смысл, знаменатель не может быть равен нулю. Рассмотрим знаменатель:

\( x — \frac{9}{x} = 0 \),

умножим обе стороны на \( x \) (при этом \( x \neq 0 \)):

\( x^2 — 9 = 0 \),

\( x^2 = 9 \),

\( x = \pm 3. \)

Следовательно, дробь не определена для \( x = 3 \) и \( x = -3 \), так как в этих точках знаменатель станет равен нулю.

Также выражение не определено при \( x = 0 \), так как в дроби присутствует деление на \( x \), что исключает значение \( x = 0 \).

Таким образом, областью определения выражения является множество всех чисел, кроме \( x = -3, x = 0 \) и \( x = 3 \). То есть \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 0, 3\} \).

2) \( \frac{x + 2}{|x| — x} + \frac{1}{x + 1}. \)

Первое выражение \( \frac{x + 2}{|x| — x} \) будет иметь смысл, если знаменатель \( |x| — x \) не равен нулю. Рассмотрим, при каких значениях \( x \) выражение в знаменателе равно нулю:

\( |x| — x = 0 \)

Это условие выполнится, если \( x \ge 0 \), так как для \( x \ge 0 \) модуль \( |x| \) равен \( x \), и тогда \( |x| — x = 0 \). Таким образом, выражение не будет определено при всех значениях \( x \ge 0 \).

Второе выражение \( \frac{1}{x + 1} \) имеет смысл при всех значениях \( x \), кроме \( x = -1 \), так как в этом случае знаменатель будет равен нулю.

Следовательно, областью определения выражения является множество всех чисел, кроме \( x \ge 0 \) и \( x = -1 \). То есть \( x \in \mathbb{R} \setminus (-\infty, 0] \cup \{-1\} \).

3) \( \frac{1}{x^2 — \frac{1}{x}}. \)

Для того чтобы дробь \( \frac{1}{x^2 — \frac{1}{x}} \) имела смысл, знаменатель \( x^2 — \frac{1}{x} \) не может быть равен нулю. Решим уравнение:

\( x^2 — \frac{1}{x} = 0 \),

умножим обе стороны на \( x \) (при этом \( x \neq 0 \)):

\( x^3 — 1 = 0 \),

\( x^3 = 1 \),

\( x = 1. \)

Следовательно, дробь не определена при \( x = 1 \). Также дробь не определена при \( x = 0 \), так как присутствует деление на \( x \) в дроби \( \frac{1}{x} \), что исключает значение \( x = 0 \).

Таким образом, областью определения выражения является множество всех чисел, кроме \( x = 0 \) и \( x = 1 \). То есть \( x \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\} \).