ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 34.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях переменной x значение дроби:

1) \( \frac{x^2 + 1}{6x — 9 — x^2} \) отрицательное;

2) \( \frac{2}{x^2 + 2x + 2} \) положительное;

3) \( \frac{1}{2x — x^2 — 2} \) отрицательное;

4) \( \frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + x + 1} \) неотрицательное.

1) \( \frac{x^2 + 1}{6x — 9 — x^2} = \frac{x^2 + 1}{-(x^2 — 6x + 9)} = -\frac{x^2 + 1}{(x — 3)^2} < 0 \) при всех допустимых значениях \( x, \) так как \( (x^2 + 1) > 0, \) и \( (x — 3)^2 > 0. \)

2) \( \frac{2}{x^2 + 2x + 2} = \frac{2}{(x^2 + 2x + 1) + 1} = \frac{2}{(x + 1)^2 + 1} > 0 \) при всех допустимых значениях \( x, \) так как \( (x + 1)^2 \ge 0 \) и \( 1 > 0. \)

3) \( \frac{1}{2x — x^2 — 2} = \frac{1}{-x^2 + 2x — 1 — 1} = \frac{1}{-\left((x^2 — 2x + 1) + 1\right)} = \)

\( = -\frac{1}{(x — 1)^2 + 1} < 0 \) при всех допустимых значениях \( x, \) так как \( (x — 1)^2 \ge 0 \) и \( 1 > 0. \)

4) \( \frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + x + 1} = \frac{(x + 3)^2}{x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} — \frac{1}{4} + 1} = \frac{(x + 3)^2}{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}} \ge 0 \) при всех допустимых значениях \( x, \) так как \( (x + 3)^2 \ge 0, \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0 \) и \( \frac{3}{4} > 0. \)

Доказательства, что при всех допустимых значениях переменной \( x \) значения дробей:

1) \( \frac{x^2 + 1}{6x — 9 — x^2} \) отрицательное;

Рассмотрим дробь \( \frac{x^2 + 1}{6x — 9 — x^2} \). Давайте упростим знаменатель:

\( 6x — 9 — x^2 = -(x^2 — 6x + 9) = -(x — 3)^2 \).

Таким образом, выражение принимает вид:

\( \frac{x^2 + 1}{-(x — 3)^2} = -\frac{x^2 + 1}{(x — 3)^2}. \)

Так как \( x^2 + 1 > 0 \) для всех значений \( x \), и \( (x — 3)^2 > 0 \) для всех значений \( x \), то дробь всегда будет отрицательной, так как знаменатель положительный, а перед дробью стоит минус.

Следовательно, дробь \( \frac{x^2 + 1}{6x — 9 — x^2} \) отрицательна при всех допустимых значениях \( x \), так как числитель всегда положителен, а знаменатель всегда положителен.

2) \( \frac{2}{x^2 + 2x + 2} \) положительное;

Рассмотрим дробь \( \frac{2}{x^2 + 2x + 2} \). Обратим внимание, что числитель всегда равен 2, что положительно. Рассмотрим знаменатель \( x^2 + 2x + 2 \). Это выражение является полным квадратом с добавлением константы:

\( x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1. \)

Заметили, что выражение \( (x + 1)^2 \ge 0 \), так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Следовательно, \( (x + 1)^2 + 1 \ge 1 \), то есть знаменатель всегда положителен для всех значений \( x \).

Поскольку числитель положителен (равен 2), а знаменатель всегда положителен, то дробь всегда будет положительной.

Следовательно, дробь \( \frac{2}{x^2 + 2x + 2} \) положительна при всех допустимых значениях \( x \).

3) \( \frac{1}{2x — x^2 — 2} \) отрицательное;

Рассмотрим дробь \( \frac{1}{2x — x^2 — 2} \). Упростим знаменатель:

\( 2x — x^2 — 2 = -(x^2 — 2x + 1 + 1) = -(x — 1)^2 — 1. \)

Здесь \( (x — 1)^2 \ge 0 \), следовательно, \( -(x — 1)^2 — 1 \le -1 \), то есть знаменатель всегда отрицателен для всех значений \( x \). Поскольку числитель равен 1, и он положителен, а знаменатель всегда отрицателен, дробь всегда отрицательна.

Следовательно, дробь \( \frac{1}{2x — x^2 — 2} \) отрицательна при всех допустимых значениях \( x \).

4) \( \frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + x + 1} \) неотрицательное;

Рассмотрим дробь \( \frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + x + 1} \). Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: \( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \),

Знаменатель: \( x^2 + x + 1 \) — это выражение всегда положительно, так как для любых значений \( x \), оно не может стать нулём.

Так как числитель \( (x + 3)^2 \ge 0 \) для всех значений \( x \), и знаменатель \( x^2 + x + 1 > 0 \) для всех значений \( x \), дробь всегда неотрицательна.

Следовательно, дробь \( \frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + x + 1} \) неотрицательна при всех допустимых значениях \( x \).