ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 34.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях переменной x значение дроби:

1) \( \frac{-x^2}{x^2 + 5} \) неположительное;

2) \( \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 — 2x + 1} \) неотрицательное;

3) \( \frac{x^4 + 4x^2 + 4}{x^2 — 14x + 49} \) положительное;

4) \( \frac{1}{x — |x|} \) отрицательное.

1) \( \frac{-x^2}{x^2 + 5} = -\frac{x^2}{x^2 + 5} \le 0 \) при всех допустимых значениях \( x, \) так как \( x^2 \ge 0 \) и \( (x^2 + 5) > 0. \)

2) \( \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 — 2x + 1} = \frac{(x + 2)^2}{(x — 1)^2} \ge 0 \) при всех допустимых значениях \( x, \) так как \( (x + 2)^2 \ge 0 \) и \( (x — 1)^2 > 0. \)

3) \( \frac{x^4 + 4x^2 + 4}{x^2 — 14x + 49} = \frac{(x^2 + 2)^2}{(x — 7)^2} > 0 \) при всех допустимых значениях \( x, \) так как \( (x^2 + 2)^2 > 0 \) и \( (x — 7)^2 > 0. \)

4) \( \frac{1}{x — |x|} = -\frac{1}{|x| — x} < 0 \) при всех допустимых значениях \( x, \) так как \( |x| > x, \) то \( (|x| — x) > 0. \)

Доказательства, что при всех допустимых значениях переменной \( x \) значения дробей:

1) \( \frac{-x^2}{x^2 + 5} \) неположительное;

Рассмотрим дробь \( \frac{-x^2}{x^2 + 5} \). Знаменатель \( x^2 + 5 \) всегда положителен, так как \( x^2 \ge 0 \), а прибавление 5 делает его строго положительным. Числитель \( -x^2 \) всегда неположителен, так как \( x^2 \ge 0 \), и перед ним стоит минус. Таким образом, дробь всегда неположительна.

Следовательно, \( \frac{-x^2}{x^2 + 5} \le 0 \) при всех значениях \( x \), так как числитель всегда не больше нуля, а знаменатель всегда положителен.

2) \( \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 — 2x + 1} \) неотрицательное;

Рассмотрим дробь \( \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 — 2x + 1} \). Числитель можно упростить:

\( x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2, \)

Знаменатель можно упростить:

\( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2. \)

Таким образом, дробь примет вид:

\( \frac{(x + 2)^2}{(x — 1)^2}. \)

Числитель и знаменатель — это квадраты, и квадраты всегда неотрицательны, то есть \( (x + 2)^2 \ge 0 \) и \( (x — 1)^2 \ge 0 \) для всех значений \( x \). Так как оба выражения неотрицательны и знаменатель всегда положителен, дробь всегда неотрицательна.

Следовательно, \( \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 — 2x + 1} \ge 0 \) при всех значениях \( x \), так как числитель и знаменатель всегда неотрицательны, а знаменатель не равен нулю.

3) \( \frac{x^4 + 4x^2 + 4}{x^2 — 14x + 49} \) положительное;

Рассмотрим дробь \( \frac{x^4 + 4x^2 + 4}{x^2 — 14x + 49} \). Числитель можно упростить:

\( x^4 + 4x^2 + 4 = (x^2 + 2)^2, \)

Знаменатель можно упростить:

\( x^2 — 14x + 49 = (x — 7)^2. \)

Таким образом, дробь примет вид:

\( \frac{(x^2 + 2)^2}{(x — 7)^2}. \)

Числитель и знаменатель — это квадраты, и квадраты всегда положительны, то есть \( (x^2 + 2)^2 > 0 \) и \( (x — 7)^2 > 0 \) для всех значений \( x \), за исключением точки \( x = 7 \), где знаменатель будет равен нулю. Таким образом, дробь всегда положительна при всех значениях \( x \), кроме \( x = 7 \).

Следовательно, \( \frac{x^4 + 4x^2 + 4}{x^2 — 14x + 49} > 0 \) при всех значениях \( x \), так как числитель и знаменатель всегда положительны, за исключением точки \( x = 7 \), где выражение не определено.

4) \( \frac{1}{x — |x|} \) отрицательное;

Рассмотрим дробь \( \frac{1}{x — |x|} \). Рассмотрим два случая для \( x \):

1) Если \( x \ge 0 \), то \( |x| = x \), и дробь примет вид \( \frac{1}{x — x} = \frac{1}{0} \), что невозможно, так как деление на ноль не определено. Следовательно, для \( x \ge 0 \) дробь не определена.

2) Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \), и дробь примет вид \( \frac{1}{x — (-x)} = \frac{1}{2x} \). Так как \( x < 0 \), то \( 2x < 0 \), и дробь будет отрицательной.

Таким образом, дробь \( \frac{1}{x — |x|} \) отрицательна при всех значениях \( x < 0 \).

Следовательно, дробь \( \frac{1}{x — |x|} \) отрицательна при всех \( x < 0 \), так как числитель равен 1, а знаменатель отрицателен при \( x < 0 \).