ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 35.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сократите дробь (n — натуральное число):

1) \( \frac{100^n}{2^{2n+3} \cdot 5^{2n+1}} \)

2) \( \frac{2^{2n+1} \cdot 7^{n+1}}{6 \cdot 28^n} \)

3) \( \frac{5^{n+1} — 5^n}{2 \cdot 5^n} \)

1) \( \frac{100^n}{2^{2n+3} \cdot 5^{2n+1}} = \frac{100^n}{2^3 \cdot 2^{2n} \cdot 5^{2n} \cdot 5} = \frac{100^n}{(2 \cdot 5)^{2n} \cdot 8 \cdot 5} = \frac{100^n}{10^{2n} \cdot 40} = \)

\( = \frac{100^n}{100^n \cdot 40} = \frac{1}{40}; \)

2) \( \frac{2^{2n+1} \cdot 7^{n+1}}{6 \cdot 28^n} = \frac{2^{2n} \cdot 2 \cdot 7^n \cdot 7}{6 \cdot 28^n} = \frac{4^n \cdot 7^n \cdot 2 \cdot 7}{6 \cdot 28^n} = \frac{(4 \cdot 7)^n \cdot 7}{3 \cdot 28^n} = \)

\( = \frac{28^n \cdot 7}{3 \cdot 28^n} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}; \)

3) \( \frac{5^{n+1} — 5^n}{2 \cdot 5^n} = \frac{5^n(5 — 1)}{2 \cdot 5^n} = \frac{5^n \cdot 4}{2 \cdot 5^n} = 2. \)

1) \( \frac{100^n}{2^{2n+3} \cdot 5^{2n+1}} \)

Начнем с разложения числителя и знаменателя. В числителе у нас \( 100^n \), которое можно записать как \( (10^2)^n = 10^{2n} \), то есть:

\( \frac{100^n}{2^{2n+3} \cdot 5^{2n+1}} = \frac{10^{2n}}{2^{2n+3} \cdot 5^{2n+1}} \).

Теперь разложим знаменатель. Разделим его на части:

В знаменателе \( 2^{2n+3} \) можно записать как \( 2^3 \cdot 2^{2n} \), а \( 5^{2n+1} \) можно представить как \( 5 \cdot 5^{2n} \). Тогда выражение принимает вид:

\( \frac{10^{2n}}{2^3 \cdot 2^{2n} \cdot 5^{2n} \cdot 5} \).

Теперь рассмотрим выражение \( (2 \cdot 5)^{2n} = 10^{2n} \). Таким образом, дробь упрощается до:

\( \frac{10^{2n}}{10^{2n} \cdot 8 \cdot 5} = \frac{1}{40} \).

Итак, окончательное упрощение: \( \frac{1}{40} \).

2) \( \frac{2^{2n+1} \cdot 7^{n+1}}{6 \cdot 28^n} \)

Начнем с разложения числителя и знаменателя. В числителе \( 2^{2n+1} \) можно записать как \( 2^{2n} \cdot 2 \), а \( 7^{n+1} \) можно представить как \( 7^n \cdot 7 \). Таким образом, числитель станет:

\( 2^{2n+1} \cdot 7^{n+1} = 2^{2n} \cdot 2 \cdot 7^n \cdot 7 \).

Теперь в знаменателе \( 28^n = (4 \cdot 7)^n = 4^n \cdot 7^n \). Тогда дробь принимает вид:

\( \frac{2^{2n} \cdot 2 \cdot 7^n \cdot 7}{6 \cdot 4^n \cdot 7^n} \).

Теперь можем сократить на \( 7^n \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{2^{2n} \cdot 2 \cdot 7}{6 \cdot 4^n} = \frac{2^{2n} \cdot 2 \cdot 7}{6 \cdot (4 \cdot 7)^n} = \frac{(4 \cdot 7)^n \cdot 7}{3 \cdot 28^n} \).

Теперь сокращаем на \( 28^n \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{28^n \cdot 7}{3 \cdot 28^n} = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3} \).

Итак, окончательное упрощение: \( 2 \frac{1}{3} \).

3) \( \frac{5^{n+1} — 5^n}{2 \cdot 5^n} \)

В числителе можно вынести общий множитель \( 5^n \), так как оба члена содержат этот множитель:

\( 5^{n+1} — 5^n = 5^n(5 — 1) \).

Теперь дробь принимает вид:

\( \frac{5^n(5 — 1)}{2 \cdot 5^n} = \frac{5^n \cdot 4}{2 \cdot 5^n} \).

Теперь сокращаем на \( 5^n \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{5^n \cdot 4}{2 \cdot 5^n} = \frac{4}{2} = 2 \).

Итак, окончательное упрощение: \( 2 \).