ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 35.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сократите дробь (n — натуральное число):

1) \( \frac{18^n}{3^{2n+2} \cdot 2^{n+1}} \)

2) \( \frac{41 \cdot 9^n}{9^{n+2} + 9^n} \)

1) \( \frac{18^n}{3^{2n+2} \cdot 2^{n+1}} = \frac{18^n}{3^{2n} \cdot 3 \cdot 2^n \cdot 2} = \frac{18^n}{9^n \cdot 2^n \cdot 6} = \frac{18^n}{(9 \cdot 2)^n \cdot 6} = \)

\( = \frac{18^n}{18^n \cdot 6} = \frac{1}{6}; \)

2) \( \frac{41 \cdot 9^n}{9^{n+2} + 9^n} = \frac{41 \cdot 9^n}{9^n(9^2 + 1)} = \frac{41 \cdot 9^n}{9^n \cdot (81 + 1)} = \frac{41 \cdot 9^n}{9^n \cdot 82} = \frac{1}{2} = 0,5. \)

1) \( \frac{18^n}{3^{2n+2} \cdot 2^{n+1}} \)

Для начала разложим выражение в числителе и знаменателе.

Числитель \( 18^n \) можно записать как \( (2 \cdot 3)^n \), так как 18 — это произведение 2 и 3. Таким образом, числитель становится:

\( 18^n = (2 \cdot 3)^n = 2^n \cdot 3^n \).

Теперь разложим знаменатель \( 3^{2n+2} \cdot 2^{n+1} \). Начнем с \( 3^{2n+2} \). Это выражение можно представить как \( 3^{2n} \cdot 3^2 \), так как \( 2n + 2 \) — это сумма степени \( 2n \) и \( 2 \). Таким образом, мы получаем:

\( 3^{2n+2} = 3^{2n} \cdot 9 \).

Теперь разложим \( 2^{n+1} \) как \( 2^n \cdot 2 \). Тогда весь знаменатель становится:

\( 3^{2n+2} \cdot 2^{n+1} = 3^{2n} \cdot 9 \cdot 2^n \cdot 2 \).

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:

\( \frac{18^n}{3^{2n+2} \cdot 2^{n+1}} = \frac{2^n \cdot 3^n}{3^{2n} \cdot 9 \cdot 2^n \cdot 2} \).

Теперь можем сократить на \( 2^n \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{2^n \cdot 3^n}{3^{2n} \cdot 9 \cdot 2^n \cdot 2} = \frac{3^n}{3^{2n} \cdot 9 \cdot 2} \).

Теперь у нас в знаменателе выражение \( 3^{2n} \), которое можно переписать как \( (3^n)^2 \), и получаем:

\( \frac{3^n}{(3^n)^2 \cdot 9 \cdot 2} \).

Сокращаем на \( 3^n \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{3^n}{(3^n)^2 \cdot 9 \cdot 2} = \frac{1}{3^n \cdot 9 \cdot 2} \).

Теперь можем переписать \( 3^n \cdot 9 \) как \( 18^n \), так как \( 3^n \cdot 9 = (3 \cdot 6)^n = 18^n \). Тогда выражение принимает вид:

\( \frac{1}{18^n \cdot 6} \).

Наконец, сокращаем на \( 18^n \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{1}{18^n \cdot 6} = \frac{1}{6} \).

Итак, окончательное упрощение: \( \frac{1}{6} \).

2) \( \frac{41 \cdot 9^n}{9^{n+2} + 9^n} \)

Для начала разложим знаменатель. В знаменателе \( 9^{n+2} + 9^n \) можем вынести общий множитель \( 9^n \):

\( 9^{n+2} + 9^n = 9^n(9^2 + 1) \).

Теперь подставляем это разложение в исходное выражение:

\( \frac{41 \cdot 9^n}{9^n(9^2 + 1)} = \frac{41 \cdot 9^n}{9^n \cdot (81 + 1)} = \frac{41 \cdot 9^n}{9^n \cdot 82} \).

Теперь сокращаем на \( 9^n \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{41 \cdot 9^n}{9^n \cdot 82} = \frac{41}{82} = \frac{1}{2} \).

Итак, окончательное упрощение: \( \frac{1}{2} = 0,5 \).