ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 35.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Приведите к общему знаменателю дроби:

1) \( \frac{2p}{5p — 15} \) и \( \frac{1}{p^3 — 27} \)

2) \( \frac{3a + 1}{9a^2 — 6a + 1} \) и \( \frac{a — 2}{9a^2 — 1} \)

3) \( \frac{a}{a^2 — 7a} \) и \( \frac{a + 3}{a^2 — 14a + 49} \)

4) \( \frac{2x}{x^2 — 1}, \frac{3x}{x^2 — 2x + 1} \) и \( \frac{4}{x^2 + 2x + 1} \)

5) \( \frac{a^2}{a^2 — ab — ac + bc}, \frac{b}{2a — 2b} \) и \( \frac{ab}{4a — 4c} \)

1) \( \frac{2p}{5p — 15} \) и \( \frac{1}{p^3 — 27}. \)

Общий знаменатель равен \( 5(p^3 — 27). \)

Тогда: \( \frac{5(p^3 — 27)}{5p — 15} = \frac{5(p — 3)(p^2 + 3p + 9)}{5(p — 3)} = p^2 + 3p + 9 \Longrightarrow 2p(p^2 + 3p + 9); \)

\( \frac{5(p^3 — 27)}{p^3 — 27} = 5 \Longrightarrow 1 \cdot 5 = 5. \)

Значит: \( \frac{2p}{5p — 15} = \frac{2p(p^2 + 3p + 9)}{5(p^3 — 27)}; \quad \frac{1}{p^3 — 27} = \frac{5}{5(p^3 — 27)}. \)

2) \( \frac{3a + 1}{9a^2 — 6a + 1} \) и \( \frac{a — 2}{9a^2 — 1}. \)

Общий знаменатель равен \( (3a — 1)^2(3a + 1). \)

Тогда: \( \frac{(3a — 1)^2(3a + 1)}{9a^2 — 6a + 1} = \frac{(3a — 1)^2(3a + 1)}{(3a — 1)^2} = 3a + 1 \Longrightarrow (3a + 1)^2; \)

\( \frac{(3a — 1)^2(3a + 1)}{9a^2 — 1} = \frac{(3a — 1)^2(3a + 1)}{(3a — 1)(3a + 1)} = 3a — 1 \Longrightarrow (a — 2)(3a — 1). \)

Значит: \( \frac{3a + 1}{9a^2 — 6a + 1} = \frac{(3a + 1)^2}{(3a — 1)^2(3a + 1)}; \quad \frac{a — 2}{9a^2 — 1} = \frac{(a — 2)(3a — 1)}{(3a — 1)^2(3a + 1)}. \)

3) \( \frac{a}{a^2 — 7a} \) и \( \frac{a + 3}{a^2 — 14a + 49}. \)

Общий знаменатель равен \( (a — 7)^2, \) так как

\( \frac{a}{a^2 — 7a} = \frac{a}{a(a — 7)} = \frac{1}{a — 7}. \)

Тогда: \( \frac{(a — 7)^2}{a — 7} = a — 7 \Longrightarrow (a — 7); \)

\( \frac{(a — 7)^2}{a^2 — 14a + 49} = \frac{(a — 7)^2}{(a — 7)^2} = 1 \Longrightarrow (a + 3). \)

Значит: \( \frac{a}{a^2 — 7a} = \frac{a — 7}{(a — 7)^2}; \quad \frac{a + 3}{a^2 — 14a + 49} = \frac{a + 3}{(a — 7)^2}. \)

4) \( \frac{2x}{x^2 — 1}, \frac{3x}{x^2 — 2x + 1} \) и \( \frac{4}{x^2 + 2x + 1}. \)

Общий знаменатель равен \( (x — 1)^2(x + 1)^2. \)

Тогда: \( \frac{(x — 1)^2(x + 1)^2}{x^2 — 1} = \frac{(x — 1)^2(x + 1)^2}{(x — 1)(x + 1)} = (x — 1)(x + 1) = (x^2 — 1) \Longrightarrow 2x(x^2 — 1); \)

\( \frac{(x — 1)^2(x + 1)^2}{x^2 — 2x + 1} = \frac{(x — 1)^2(x + 1)^2}{(x — 1)^2} = (x + 1)^2 \Longrightarrow 3x(x + 1)^2; \)

\( \frac{(x — 1)^2(x + 1)^2}{x^2 + 2x + 1} = \frac{(x — 1)^2(x + 1)^2}{(x + 1)^2} = (x — 1)^2 \Longrightarrow 4(x — 1)^2. \)

Значит: \( \frac{2x}{x^2 — 1} = \frac{2x(x^2 — 1)}{(x — 1)^2(x + 1)^2}; \quad \frac{3x}{x^2 — 2x + 1} = \frac{3x(x + 1)^2}{(x — 1)^2(x + 1)^2}; \quad \frac{4}{x^2 + 2x + 1} = \frac{4(x — 1)^2}{(x — 1)^2(x + 1)^2}. \)

5) \( \frac{a^2}{a^2 — ab — ac + bc}, \frac{b}{2a — 2b} \) и \( \frac{ab}{4a — 4c}. \)

\( \frac{a^2}{a^2 — ab — ac + bc} = \frac{a^2}{a(a — b) — c(a — b)} = \frac{a^2}{(a — b)(a — c)}. \)

Общий знаменатель равен \( 4(a — b)(a — c). \)

Тогда: \( \frac{4(a — b)(a — c)}{a^2 — ab — ac + bc} = \frac{4(a — b)(a — c)}{(a — b)(a — c)} = 4 \Longrightarrow 4a^2; \)

\( \frac{4(a — b)(a — c)}{2a — 2b} = \frac{4(a — b)(a — c)}{2(a — b)} = 2(a — c) \Longrightarrow b \cdot 2(a — c) = 2b(a — c); \)

\( \frac{4(a — b)(a — c)}{4a — 4c} = \frac{4(a — b)(a — c)}{4(a — c)} = (a — b) \Longrightarrow ab \cdot (a — b) = ab(a — b). \)

Значит: \( \frac{a^2}{a^2 — ab — ac + bc} = \frac{4a^2}{4(a — b)(a — c)}; \quad \frac{b}{2a — 2b} = \frac{2b(a — c)}{4(a — b)(a — c)}; \quad \frac{ab}{4a — 4c} = \frac{ab(a — b)}{4(a — b)(a — c)}. \)

1) \( \frac{2p}{5p — 15} \) и \( \frac{1}{p^3 — 27}. \)

Общий знаменатель для данных дробей равен \( 5(p^3 — 27) \), так как \( 5p — 15 \) можно разложить как \( 5(p — 3) \), а \( p^3 — 27 \) является разностью кубов и разлагается по формуле \( p^3 — 27 = (p — 3)(p^2 + 3p + 9) \).

Теперь рассмотрим дробь \( \frac{2p}{5p — 15} \). Мы можем привести её к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на \( p^3 — 27 \), получив:

\( \frac{2p}{5p — 15} = \frac{2p(p^3 — 27)}{5p — 15 \cdot (p^3 — 27)} \).

В знаменателе \( 5p — 15 \) можно выделить общий множитель \( 5 \), тогда выражение примет вид:

\( \frac{2p(p^3 — 27)}{5(p — 3)(p^2 + 3p + 9)} \).

Далее сокращаем на \( p — 3 \) в числителе и знаменателе, получаем:

\( \frac{2p(p^2 + 3p + 9)}{5(p^3 — 27)} \).

Аналогично для второй дроби \( \frac{1}{p^3 — 27} \), она становится:

\( \frac{1}{p^3 — 27} = \frac{5}{5(p^3 — 27)} \).

Таким образом, мы приводим обе дроби к общему знаменателю \( 5(p^3 — 27) \), и получаем:

\( \frac{2p}{5p — 15} = \frac{2p(p^2 + 3p + 9)}{5(p^3 — 27)}; \quad \frac{1}{p^3 — 27} = \frac{5}{5(p^3 — 27)}. \)

2) \( \frac{3a + 1}{9a^2 — 6a + 1} \) и \( \frac{a — 2}{9a^2 — 1}. \)

Общий знаменатель для данных дробей равен \( (3a — 1)^2(3a + 1) \), так как \( 9a^2 — 6a + 1 = (3a — 1)^2 \), а \( 9a^2 — 1 = (3a — 1)(3a + 1) \).

Для первой дроби \( \frac{3a + 1}{9a^2 — 6a + 1} \), используя разложение \( 9a^2 — 6a + 1 = (3a — 1)^2 \), получаем:

\( \frac{(3a — 1)^2(3a + 1)}{(3a — 1)^2} = 3a + 1 \Longrightarrow (3a + 1)^2. \)

Для второй дроби \( \frac{a — 2}{9a^2 — 1} \), учитывая разложение \( 9a^2 — 1 = (3a — 1)(3a + 1) \), получаем:

\( \frac{(3a — 1)^2(3a + 1)}{(3a — 1)(3a + 1)} = 3a — 1 \Longrightarrow (a — 2)(3a — 1). \)

Итак, после приведения дробей к общему знаменателю, они становятся:

\( \frac{3a + 1}{9a^2 — 6a + 1} = \frac{(3a + 1)^2}{(3a — 1)^2(3a + 1)}; \quad \frac{a — 2}{9a^2 — 1} = \frac{(a — 2)(3a — 1)}{(3a — 1)^2(3a + 1)}. \)

3) \( \frac{a}{a^2 — 7a} \) и \( \frac{a + 3}{a^2 — 14a + 49}. \)

Общий знаменатель для этих дробей равен \( (a — 7)^2 \), так как \( a^2 — 7a = a(a — 7) \) и \( a^2 — 14a + 49 = (a — 7)^2 \).

Для первой дроби \( \frac{a}{a^2 — 7a} = \frac{a}{a(a — 7)} = \frac{1}{a — 7}. \)

Теперь рассмотрим вторую дробь \( \frac{a + 3}{a^2 — 14a + 49} \), которая сразу принимает вид:

\( \frac{a + 3}{(a — 7)^2}. \)

Таким образом, после приведения дробей к общему знаменателю, получаем:

\( \frac{a}{a^2 — 7a} = \frac{a — 7}{(a — 7)^2}; \quad \frac{a + 3}{a^2 — 14a + 49} = \frac{a + 3}{(a — 7)^2}. \)

4) \( \frac{2x}{x^2 — 1}, \frac{3x}{x^2 — 2x + 1} \) и \( \frac{4}{x^2 + 2x + 1}. \)

Общий знаменатель для этих дробей равен \( (x — 1)^2(x + 1)^2 \), так как \( x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1) \), \( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \), и \( x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \).

Для первой дроби \( \frac{2x}{x^2 — 1} \), мы можем выразить её через общий знаменатель:

\( \frac{(x — 1)^2(x + 1)^2}{x^2 — 1} = \frac{(x — 1)^2(x + 1)^2}{(x — 1)(x + 1)} = (x — 1)(x + 1) = (x^2 — 1) \Longrightarrow 2x(x^2 — 1); \)

Для второй дроби \( \frac{3x}{x^2 — 2x + 1} \), используем разложение \( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \), получаем:

\( \frac{(x — 1)^2(x + 1)^2}{x^2 — 2x + 1} = \frac{(x — 1)^2(x + 1)^2}{(x — 1)^2} = (x + 1)^2 \Longrightarrow 3x(x + 1)^2; \)

Для третьей дроби \( \frac{4}{x^2 + 2x + 1} \), используя разложение \( x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \), получаем:

\( \frac{(x — 1)^2(x + 1)^2}{x^2 + 2x + 1} = \frac{(x — 1)^2(x + 1)^2}{(x + 1)^2} = (x — 1)^2 \Longrightarrow 4(x — 1)^2. \)

Значит, после приведения дробей к общему знаменателю, получаем:

\( \frac{2x}{x^2 — 1} = \frac{2x(x^2 — 1)}{(x — 1)^2(x + 1)^2}; \quad \frac{3x}{x^2 — 2x + 1} = \frac{3x(x + 1)^2}{(x — 1)^2(x + 1)^2}; \quad \frac{4}{x^2 + 2x + 1} = \frac{4(x — 1)^2}{(x — 1)^2(x + 1)^2}.\)

5) \( \frac{a^2}{a^2 — ab — ac + bc}, \frac{b}{2a — 2b} \) и \( \frac{ab}{4a — 4c}. \)

Для первой дроби \( \frac{a^2}{a^2 — ab — ac + bc} = \frac{a^2}{a(a — b) — c(a — b)} = \frac{a^2}{(a — b)(a — c)}. \)

Общий знаменатель для этих дробей равен \( 4(a — b)(a — c). \)

Тогда для первой дроби получаем:

\( \frac{4(a — b)(a — c)}{a^2 — ab — ac + bc} = \frac{4(a — b)(a — c)}{(a — b)(a — c)} = 4 \Longrightarrow 4a^2; \)

Для второй дроби \( \frac{4(a — b)(a — c)}{2a — 2b} = \frac{4(a — b)(a — c)}{2(a — b)} = 2(a — c) \Longrightarrow b \cdot 2(a — c) = 2b(a — c); \)

Для третьей дроби \( \frac{4(a — b)(a — c)}{4a — 4c} = \frac{4(a — b)(a — c)}{4(a — c)} = (a — b) \Longrightarrow ab \cdot (a — b) = ab(a — b).\)

Значит, после приведения дробей к общему знаменателю:

\( \frac{a^2}{a^2 — ab — ac + bc} = \frac{4a^2}{4(a — b)(a — c)}; \quad \frac{b}{2a — 2b} = \frac{2b(a — c)}{4(a — b)(a — c)}; \quad \frac{ab}{4a — 4c} = \frac{ab(a — b)}{4(a — b)(a — c)}.\)