ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 35.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Запишите в виде дробей с одинаковыми знаменателями дроби:

1) \( \frac{3a}{3a — 2}, \frac{a}{9a + 6} \) и \( \frac{a^2}{9a^2b — 4b} \)

2) \( \frac{1}{a — 5b}, \frac{1}{a^2 + 7ac} \) и \( \frac{1}{a^2 + 7ac — 5ab — 35bc} \)

1) \( \frac{3a}{3a — 2}, \frac{a}{9a + 6} \) и \( \frac{a^2}{9a^2b — 4b}. \)

\( \frac{a}{9a + 6} = \frac{a}{3(3a + 2)}; \quad \frac{a^2}{9a^2b — 4b} = \frac{a^2}{b(9a^2 — 4)} = \frac{a^2}{b(3a — 2)(3a + 2)}. \)

Общий знаменатель равен \( 3b(9a^2 — 4). \)

Тогда: \( \frac{3b(9a^2 — 4)}{3a — 2} = 3b(3a + 2) \Longrightarrow 3a \cdot 3b(3a + 2) = 9ab(3a + 2); \)

\( \frac{3b(9a^2 — 4)}{9a + 6} = \frac{3b(9a^2 — 4)}{3(3a + 2)} = b(3a — 2) \Longrightarrow a \cdot b(3a — 2) = ab(3a — 2); \)

\( \frac{3b(9a^2 — 4)}{9a^2b — 4b} = \frac{3b(9a^2 — 4)}{b(9a^2 — 4)} = 3 \Longrightarrow a^2 \cdot 3 = 3a^2. \)

Значит: \( \frac{3a}{3a — 2} = \frac{9ab(3a + 2)}{3b(9a^2 — 4)}; \quad \frac{a}{9a + 6} = \frac{ab(3a — 2)}{3b(9a^2 — 4)}; \quad \frac{a^2}{9a^2b — 4b} = \frac{3a^2}{3b(9a^2 — 4)}.\)

2) \( \frac{1}{a — 5b}, \frac{1}{a^2 + 7ac} \) и \( \frac{1}{a^2 + 7ac — 5ab — 35bc}. \)

\( \frac{1}{a^2 + 7ac} = \frac{1}{a(a + 7c)}; \quad \frac{1}{a^2 + 7ac — 5ab — 35bc} = \frac{1}{a(a + 7c) — 5b(a + 7c)} = \frac{1}{(a + 7c)(a — 5b)}. \)

Общий знаменатель равен \( a(a + 7c)(a — 5b). \)

Тогда: \( \frac{a(a + 7c)(a — 5b)}{a — 5b} = a(a + 7c) \Longrightarrow a(a + 7c); \)

\( \frac{a(a + 7c)(a — 5b)}{a^2 + 7ac} = \frac{a(a + 7c)(a — 5b)}{a(a + 7c)} = a — 5b \Longrightarrow a — 5b; \)

\( \frac{a(a + 7c)(a — 5b)}{a^2 + 7ac — 5ab — 35bc} = \frac{a(a + 7c)(a — 5b)}{(a + 7c)(a — 5b)} = a \Longrightarrow a. \)

Значит: \( \frac{1}{a — 5b} = \frac{a(a + 7c)}{a(a + 7c)(a — 5b)}; \quad \frac{1}{a^2 + 7ac} = \frac{a — 5b}{a(a + 7c)(a — 5b)}; \quad \frac{1}{a^2 + 7ac — 5ab — 35bc} =\)

\(= \frac{a}{a(a + 7c)(a — 5b)}.\)

1) \( \frac{3a}{3a — 2}, \frac{a}{9a + 6} \) и \( \frac{a^2}{9a^2b — 4b}. \)

Приведем эти дроби к общему знаменателю. Для этого нужно найти общий знаменатель всех дробей.

Для первой дроби \( \frac{3a}{3a — 2} \) и второй дроби \( \frac{a}{9a + 6} \), начнем с разложения знаменателей. Заметим, что \( 9a + 6 = 3(3a + 2) \), то есть второй знаменатель можно разложить на множители. Первая дробь остаётся без изменений:

\( \frac{a}{9a + 6} = \frac{a}{3(3a + 2)}. \)

Теперь рассмотрим третью дробь \( \frac{a^2}{9a^2b — 4b} \). В числителе у нас \( a^2 \), а в знаменателе можем выделить общий множитель \( b \):

\( 9a^2b — 4b = b(9a^2 — 4) \). Теперь дробь выглядит так:

\( \frac{a^2}{9a^2b — 4b} = \frac{a^2}{b(9a^2 — 4)} = \frac{a^2}{b(3a — 2)(3a + 2)}. \)

Общий знаменатель для всех трех дробей будет \( 3b(9a^2 — 4) \), так как знаменатель третьей дроби уже включает \( b(3a — 2)(3a + 2) \), а для других дробей мы добавляем множители, чтобы привести их к общему знаменателю.

Теперь приведем каждую дробь к общему знаменателю. Для первой дроби умножим числитель и знаменатель на \( b(9a^2 — 4) \):

\( \frac{3a}{3a — 2} = \frac{3a \cdot b(9a^2 — 4)}{(3a — 2) \cdot b(9a^2 — 4)} = \frac{9ab(3a + 2)}{3b(9a^2 — 4)}. \)

Для второй дроби умножим числитель и знаменатель на \( b(9a^2 — 4) \) и \( 3 \), так как \( 9a + 6 = 3(3a + 2) \):

\( \frac{a}{9a + 6} = \frac{a \cdot b(9a^2 — 4)}{3(3a + 2) \cdot b(9a^2 — 4)} = \frac{ab(3a — 2)}{3b(9a^2 — 4)}. \)

Для третьей дроби можно сразу использовать общий знаменатель \( 3b(9a^2 — 4) \), так как она уже включает его в своем знаменателе:

\( \frac{a^2}{9a^2b — 4b} = \frac{3a^2}{3b(9a^2 — 4)}. \)

Значит, все три дроби теперь имеют одинаковый знаменатель. Результат:

\( \frac{3a}{3a — 2} = \frac{9ab(3a + 2)}{3b(9a^2 — 4)}; \quad \frac{a}{9a + 6} = \frac{ab(3a — 2)}{3b(9a^2 — 4)}; \quad \frac{a^2}{9a^2b — 4b} = \frac{3a^2}{3b(9a^2 — 4)}.\)

2) \( \frac{1}{a — 5b}, \frac{1}{a^2 + 7ac} \) и \( \frac{1}{a^2 + 7ac — 5ab — 35bc}. \)

Для приведения этих дробей к общему знаменателю найдем общий знаменатель. Начнем с анализа знаменателей.

Для первой дроби \( \frac{1}{a — 5b} \) знаменатель уже в нужной форме. Рассмотрим вторую дробь. Заметим, что \( a^2 + 7ac = a(a + 7c) \), и можем переписать её как:

\( \frac{1}{a^2 + 7ac} = \frac{1}{a(a + 7c)}. \)

Для третьей дроби \( \frac{1}{a^2 + 7ac — 5ab — 35bc} \) заметим, что в знаменателе можно выделить общий множитель \( (a + 7c) \), так как:

\( a^2 + 7ac — 5ab — 35bc = (a + 7c)(a — 5b). \)

Таким образом, дробь принимает вид:

\( \frac{1}{a^2 + 7ac — 5ab — 35bc} = \frac{1}{(a + 7c)(a — 5b)}. \)

Теперь, когда мы видим, что общий знаменатель для всех трёх дробей — это \( a(a + 7c)(a — 5b) \), можем привести каждую дробь к этому знаменателю.

Для первой дроби умножим числитель и знаменатель на \( a(a + 7c)(a — 5b) \), получаем:

\( \frac{1}{a — 5b} = \frac{a(a + 7c)}{a(a + 7c)(a — 5b)}. \)

Для второй дроби умножим числитель и знаменатель на \( (a — 5b) \), получаем:

\( \frac{1}{a^2 + 7ac} = \frac{a — 5b}{a(a + 7c)(a — 5b)}. \)

Для третьей дроби умножим числитель и знаменатель на \( 1 \), так как она уже имеет нужный знаменатель:

\( \frac{1}{a^2 + 7ac — 5ab — 35bc} = \frac{a}{a(a + 7c)(a — 5b)}. \)

Значит, все три дроби теперь имеют одинаковый знаменатель. Результат:

\( \frac{1}{a — 5b} = \frac{a(a + 7c)}{a(a + 7c)(a — 5b)}; \quad \frac{1}{a^2 + 7ac} = \frac{a — 5b}{a(a + 7c)(a — 5b)}; \quad \frac{1}{a^2 + 7ac — 5ab — 35bc} =\)

\(= \frac{a}{a(a + 7c)(a — 5b)}.\)