ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 35.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( \frac{a^2 — 3ab — b^2}{a^2 — b^2}, \) если \( \frac{3a + 2b}{4a — b} = 1\)

2) \( \frac{m^3 + 2m^2n}{n^3 — mn^2}, \) если \( \frac{5m — n}{3m + 2n} = 2 \)

1) Если \( \frac{3a + 2b}{4a — b} = 1, \) то:

\( 3a + 2b = 4a — b \)

\( 4a — 3a = 2b + b \)

\( a = 3b. \)

Тогда: \( \frac{a^2 — 3ab — b^2}{a^2 — b^2} = \frac{(3b)^2 — 3 \cdot 3b \cdot b — b^2}{(3b)^2 — b^2} = \frac{9b^2 — 9b^2 — b^2}{9b^2 — b^2} = \frac{-b^2}{8b^2} = -\frac{1}{8}. \)

2) Если \( \frac{5m — n}{3m + 2n} = 2, \) то:

\( 5m — n = 2(3m + 2n) \)

\( 5m — n = 6m + 4n \)

\( 6m — 5m = -n — 4n \)

\( m = -5n. \)

Тогда: \( \frac{m^3 + 2m^2n}{n^3 — mn^2} = \frac{m^2(m + 2n)}{n^2(n — m)} = \frac{(-5n)^2 \cdot (-5n + 2n)}{n^2 \cdot (n — (-5n))} = \frac{25n^2 \cdot (-3n)}{n^2 \cdot 6n} = \)

\( = \frac{25 \cdot (-3)}{6} = \frac{-75}{6} = -12,5. \)

Ответ: 1) \( -\frac{1}{8};\quad 2)\ -12,5. \)

Необходимо найти значение выражений:

1) \( \frac{a^2 — 3ab — b^2}{a^2 — b^2}, \) если \( \frac{3a + 2b}{4a — b} = 1. \)

Шаг 1: Начнем с условия \( \frac{3a + 2b}{4a — b} = 1 \). Умножим обе части на \( 4a — b \), чтобы избавиться от дроби:

\( 3a + 2b = 4a — b. \)

Шаг 2: Переносим все члены с \( a \) и \( b \) в одну сторону:

\( 4a — 3a = 2b + b \)

\( a = 3b. \)

Шаг 3: Подставим \( a = 3b \) в исходное выражение. Начнем с числителя и знаменателя:

Числитель: \( a^2 — 3ab — b^2 = (3b)^2 — 3 \cdot 3b \cdot b — b^2 = 9b^2 — 9b^2 — b^2 = -b^2. \)

Знаменатель: \( a^2 — b^2 = (3b)^2 — b^2 = 9b^2 — b^2 = 8b^2. \)

Шаг 4: Подставляем эти значения в выражение:

\( \frac{a^2 — 3ab — b^2}{a^2 — b^2} = \frac{-b^2}{8b^2}. \)

Шаг 5: Сокращаем \( b^2 \) в числителе и знаменателе (при условии, что \( b \neq 0 \)):

\( \frac{-b^2}{8b^2} = \frac{-1}{8}. \)

Ответ: \( -\frac{1}{8}. \)

2) \( \frac{m^3 + 2m^2n}{n^3 — mn^2}, \) если \( \frac{5m — n}{3m + 2n} = 2. \)

Шаг 1: Начнем с условия \( \frac{5m — n}{3m + 2n} = 2 \). Умножим обе части на \( 3m + 2n \), чтобы избавиться от дроби:

\( 5m — n = 2(3m + 2n). \)

Шаг 2: Раскроем скобки в правой части:

\( 5m — n = 6m + 4n. \)

Шаг 3: Переносим все члены с \( m \) и \( n \) в одну сторону:

\( 6m — 5m = -n — 4n \)

\( m = -5n. \)

Шаг 4: Подставляем \( m = -5n \) в исходное выражение. Начнем с числителя и знаменателя:

Числитель: \( m^3 + 2m^2n = (-5n)^3 + 2(-5n)^2n = -125n^3 + 2 \cdot 25n^2 \cdot n =\)

\( = -125n^3 + 50n^3 = -75n^3. \)

Знаменатель: \( n^3 — mn^2 = n^3 — (-5n)n^2 = n^3 + 5n^3 = 6n^3. \)

Шаг 5: Подставляем эти значения в выражение:

\( \frac{m^3 + 2m^2n}{n^3 — mn^2} = \frac{-75n^3}{6n^3}. \)

Шаг 6: Сокращаем \( n^3 \) в числителе и знаменателе (при условии, что \( n \neq 0 \)):

\( \frac{-75n^3}{6n^3} = \frac{-75}{6} = -12,5. \)

Ответ: \( -12,5. \)