ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 35.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = \frac{|x|}{x} \)

2) \( y = \frac{x^2 — 1}{|x| — 1}  \)

1) \( y = \frac{|x|}{x}, \quad x \ne 0. \)

\( y = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0; \\ -1, & \text{если } x < 0; \end{cases} \)

2) \( y = \frac{x^2 — 1}{|x| — 1} = \frac{(x — 1)(x + 1)}{|x| — 1}, \quad x \ne \pm 1. \)

\( y = \begin{cases} x + 1, & \text{если } x \ge 0; \\ -x + 1, & \text{если } x < 0; \end{cases} \)

1) \( y = \frac{|x|}{x}, \quad x \ne 0. \)

Шаг 1: Функция \( y = \frac{|x|}{x} \) определена для всех значений \( x \), кроме \( x = 0 \), так как деление на ноль невозможно.

Шаг 2: Рассмотрим два случая:

— Если \( x > 0 \), то \( |x| = x \), и функция принимает вид \( y = \frac{x}{x} = 1 \).

— Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \), и функция принимает вид \( y = \frac{-x}{x} = -1 \).

Таким образом, функция имеет вид:

\( y = \begin{cases}
1, & \text{если } x > 0; \\
-1, & \text{если } x < 0;
\end{cases} \)

График этой функции представляет собой две горизонтальные прямые: одна на уровне \( y = 1 \) для \( x > 0 \) и другая на уровне \( y = -1 \) для \( x < 0 \). В точке \( x = 0 \) разрыв, так как функция не определена в этой точке. График будет выглядеть как две горизонтальные линии с разрывом в точке \( x = 0 \).

2) \( y = \frac{x^2 — 1}{|x| — 1} = \frac{(x — 1)(x + 1)}{|x| — 1}, \quad x \ne \pm 1. \)

Шаг 1: Функция \( y = \frac{x^2 — 1}{|x| — 1} \) разлагается на множители: \( x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1) \). Теперь у нас выражение:

\( y = \frac{(x — 1)(x + 1)}{|x| — 1}. \)

Шаг 2: Рассмотрим два случая:

— Если \( x \ge 0 \), то \( |x| = x \), и функция принимает вид \( y = \frac{(x — 1)(x + 1)}{x — 1} \). При \( x \neq 1 \) сокращаем \( (x — 1) \) и получаем \( y = x + 1 \).

— Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \), и функция принимает вид \( y = \frac{(x — 1)(x + 1)}{-x — 1} = -x + 1 \).

Таким образом, функция имеет вид:

\( y = \begin{cases}
x + 1, & \text{если } x \ge 0; \\
-x + 1, & \text{если } x < 0;
\end{cases} \)

График этой функции будет состоять из двух частей:

— Для \( x \ge 0 \), график будет представлять собой прямую с угловым коэффициентом 1, проходящую через точку \( (0, 1) \).

— Для \( x < 0 \), график будет представлять собой прямую с угловым коэффициентом -1, проходящую через точку \( (0, 1) \).

График будет соединять эти две прямые, но с разрывом в точке \( x = 1 \), так как в этой точке функция не определена.