ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 35.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение дроби:

1) \( \frac{a^3 — a^2 — a + 1}{a^3 + a^2 + a + 1} \) неотрицательное;

2) \( \frac{2x — 4}{x^3 — 2x^2 + x — 2} \) положительное;

3) \( \frac{(x — 1)^3}{x^3 — x^2 + 4x — 4} \) неотрицательное;

4) \( \frac{x^2 — 4}{12 + x^2 — x^4} \) отрицательное.

1) \( \frac{a^3 — a^2 — a + 1}{a^3 + a^2 + a + 1} = \frac{a^2(a — 1) — (a — 1)}{a^2(a + 1) + (a + 1)} = \frac{(a — 1)(a^2 — 1)}{(a + 1)(a^2 + 1)} = \)

\( = \frac{(a — 1)(a — 1)(a + 1)}{(a + 1)(a^2 + 1)} = \frac{(a — 1)^2}{a^2 + 1} \ge 0 \) при всех допустимых значениях переменной, так как \( (a — 1)^2 \ge 0 \) и \( (a^2 + 1) > 0. \)

2) \( \frac{2x — 4}{x^3 — 2x^2 + x — 2} = \frac{2x — 4}{x^2(x — 2) + (x — 2)} = \frac{2(x — 2)}{(x — 2)(x^2 + 1)} = \)

\( = \frac{2}{x^2 + 1} > 0 \) при всех допустимых значениях переменной, так как \( (x^2 + 1) > 0. \)

3) \( \frac{(x — 1)^3}{x^3 — x^2 + 4x — 4} = \frac{(x — 1)^3}{x^2(x — 1) + 4(x — 1)} = \frac{(x — 1)^3}{(x — 1)(x^2 + 4)} = \)

\( = \frac{(x — 1)^2}{x^2 + 4} \ge 0 \) при всех допустимых значениях переменной, так как \( (x — 1)^2 \ge 0 \) и \( (x^2 + 4) > 0. \)

4) \( \frac{x^2 — 4}{12 + x^2 — x^4} = \frac{x^2 — 4}{x^2 — 4 — x^4 + 16} = \frac{x^2 — 4}{(x^2 — 4) — (x^4 — 16)} = \)

\( = \frac{x^2 — 4}{(x^2 — 4) — (x^2 — 4)(x^2 + 4)} = \frac{x^2 — 4}{(x^2 — 4)(1 — x^2 — 4)} = \frac{x^2 — 4}{(x^2 — 4)(-x^2 — 3)} = \)

\( = -\frac{1}{x^2 + 3} < 0 \) при всех допустимых значениях переменной, так как \( (x^2 + 3) > 0, \) а \( \left(-\frac{1}{x^2 + 3}\right) < 0. \)

1) Доказательство, что при всех допустимых значениях переменной значение дроби:

\( \frac{a^3 — a^2 — a + 1}{a^3 + a^2 + a + 1} \) неотрицательное.

Шаг 1: Разложим числитель и знаменатель. Числитель \( a^3 — a^2 — a + 1 \) можно представить как разность квадратов:

\( a^3 — a^2 — a + 1 = (a — 1)(a^2 — 1) = (a — 1)(a — 1)(a + 1). \)

Шаг 2: Заменим числитель в исходной дроби, получаем:

\( \frac{(a — 1)(a — 1)(a + 1)}{a^3 + a^2 + a + 1}. \)

Шаг 3: Разложим знаменатель. Мы видим, что \( a^3 + a^2 + a + 1 \) также можно разложить как разность квадратов:

\( a^3 + a^2 + a + 1 = (a + 1)(a^2 + 1). \)

Шаг 4: Таким образом, дробь принимает вид:

\( \frac{(a — 1)^2(a + 1)}{(a + 1)(a^2 + 1)}. \)

Шаг 5: Сокращаем \( (a + 1) \) в числителе и знаменателе (при условии, что \( a \neq -1 \), так как в этой точке дробь не определена). Получаем:

\( \frac{(a — 1)^2}{a^2 + 1}. \)

Шаг 6: Замечаем, что \( (a — 1)^2 \geq 0 \) для всех \( a \), и \( a^2 + 1 > 0 \) для всех \( a \). Поэтому дробь всегда неотрицательна, так как числитель и знаменатель неотрицательны.

Ответ: Дробь \( \frac{a^3 — a^2 — a + 1}{a^3 + a^2 + a + 1} \) неотрицательна при всех допустимых значениях переменной.

2) Доказательство, что при всех допустимых значениях переменной значение дроби:

\( \frac{2x — 4}{x^3 — 2x^2 + x — 2} \) положительное.

Шаг 1: Разложим числитель и знаменатель. Числитель можно вынести как общий множитель 2:

\( 2x — 4 = 2(x — 2). \)

Шаг 2: Разложим знаменатель. \( x^3 — 2x^2 + x — 2 \) можно разложить по формуле разности кубов:

\( x^3 — 2x^2 + x — 2 = (x — 2)(x^2 + 1). \)

Шаг 3: Подставляем это в дробь:

\( \frac{2(x — 2)}{(x — 2)(x^2 + 1)}. \)

Шаг 4: Сокращаем \( (x — 2) \) в числителе и знаменателе (при условии, что \( x \neq 2 \), так как в этой точке дробь не определена). Получаем:

\( \frac{2}{x^2 + 1}. \)

Шаг 5: Поскольку \( x^2 + 1 > 0 \) для всех \( x \), дробь всегда положительна, так как числитель положительный и знаменатель положительный.

Ответ: Дробь \( \frac{2x — 4}{x^3 — 2x^2 + x — 2} \) положительна при всех допустимых значениях переменной.

3) Доказательство, что при всех допустимых значениях переменной значение дроби:

\( \frac{(x — 1)^3}{x^3 — x^2 + 4x — 4} \) неотрицательное.

Шаг 1: Разложим числитель и знаменатель. Числитель \( (x — 1)^3 \) является кубом, который всегда неотрицателен или отрицателен в зависимости от \( x \), так как \( (x — 1)^3 \geq 0 \) для \( x \geq 1 \) и \( (x — 1)^3 < 0 \) для \( x < 1 \).

Шаг 2: Разложим знаменатель. \( x^3 — x^2 + 4x — 4 \) можно разложить как:

\( x^3 — x^2 + 4x — 4 = (x — 1)(x^2 + 1). \)

Шаг 3: Подставляем это в дробь:

\( \frac{(x — 1)^3}{(x — 1)(x^2 + 1)}. \)

Шаг 4: Сокращаем \( (x — 1) \) в числителе и знаменателе (при условии, что \( x \neq 1 \), так как в этой точке дробь не определена). Получаем:

\( \frac{(x — 1)^2}{x^2 + 1}. \)

Шаг 5: Поскольку \( (x — 1)^2 \geq 0 \) и \( x^2 + 1 > 0 \) для всех \( x \), дробь всегда неотрицательна.

Ответ: Дробь \( \frac{(x — 1)^3}{x^3 — x^2 + 4x — 4} \) неотрицательна при всех допустимых значениях переменной.

4) Доказательство, что при всех допустимых значениях переменной значение дроби:

\( \frac{x^2 — 4}{12 + x^2 — x^4} \) отрицательное.

Шаг 1: Разложим числитель \( x^2 — 4 \) как разность квадратов:

\( x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2). \)

Шаг 2: Разложим знаменатель \( 12 + x^2 — x^4 \). Преобразуем его как:

\( 12 + x^2 — x^4 = -x^4 + x^2 + 12. \)

Шаг 3: Подставляем это в дробь:

\( \frac{(x — 2)(x + 2)}{-x^4 + x^2 + 12}. \)

Шаг 4: Мы видим, что \( -x^4 + x^2 + 12 = -(x^2 + 3)(x^2 — 4) \), и дробь примет вид:

\( \frac{(x — 2)(x + 2)}{-(x^2 + 3)(x^2 — 4)}. \)

Шаг 5: Мы знаем, что \( (x^2 + 3) > 0 \) и \( (x^2 — 4) > 0 \) для всех \( x \), кроме значений, при которых \( x = \pm 2 \). Следовательно, дробь всегда отрицательна, так как числитель и знаменатель положительны, но минус в знаменателе делает дробь отрицательной.

Ответ: Дробь \( \frac{x^2 — 4}{12 + x^2 — x^4} \) отрицательна при всех допустимых значениях переменной.