ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 35.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \( \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} = k \). Докажите, что если \( b_1 + b_2 + \cdots + b_n \ne 0 \) ,то \( \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n} = k \).

Так как \( \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} = k \), то \( a_1 = kb_1, a_2 = kb_2, \ldots, a_n = kb_n. \)

Если \( b_1 + b_2 + \cdots + b_n \ne 0 \), то:

\( \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n} = k \)

\( \frac{kb_1 + kb_2 + \cdots + kb_n}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n} = k \)

\( \frac{k(b_1 + b_2 + \cdots + b_n)}{(b_1 + b_2 + \cdots + b_n)} = k \)

\( k = k \to \) что и требовалось доказать.

Известно, что \( \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} = k \). Необходимо доказать, что если \( b_1 + b_2 + \cdots + b_n \ne 0 \), то:

\( \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n} = k \).

Шаг 1: Так как \( \frac{a_1}{b_1} = k \), \( \frac{a_2}{b_2} = k \), и так далее, это означает, что для каждого \( i \) выполняется равенство \( a_i = k \cdot b_i \), где \( i = 1, 2, \ldots, n \).

Заменим каждое \( a_i \) на \( k \cdot b_i \) в числителе:

\( a_1 + a_2 + \cdots + a_n = k \cdot b_1 + k \cdot b_2 + \cdots + k \cdot b_n. \)

Шаг 2: Вынесем \( k \) за скобки:

\( a_1 + a_2 + \cdots + a_n = k \cdot (b_1 + b_2 + \cdots + b_n). \)

Шаг 3: Теперь подставим это в исходную дробь:

\( \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n} = \frac{k \cdot (b_1 + b_2 + \cdots + b_n)}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}. \)

Шаг 4: Сократим \( (b_1 + b_2 + \cdots + b_n) \) в числителе и знаменателе (при условии, что \( b_1 + b_2 + \cdots + b_n \ne 0 \), так как дробь не определена, если знаменатель равен нулю):

\( \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n} = k. \)

Таким образом, доказано, что \( \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n} = k \), если \( b_1 + b_2 + \cdots + b_n \ne 0 \).