ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 35.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сократите дробь:

1) \( \frac{3y + 9}{y^2 + y — 6} \)

2) \( \frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 3x + 2} \)

3) \( \frac{2x^3 — 9x^2 + 27x — 27}{4x^2 — 9} \)

4) \( \frac{z^4 + 7z^2 + 16}{z^2 + z + 4} \)

5) \( \frac{y^{55} + y^{54} + \cdots + y + 1}{y^{27} + y^{26} + \cdots + y + 1} \)

6) \( \frac{a^{59} — a^{58} + a^{57} — \cdots + a — 1}{a^{19} — a^{18} + a^{17} — \cdots + a — 1} \)

1) \( \frac{3y + 9}{y^2 + y — 6} = \frac{3(y + 3)}{y^2 — 2y + 3y — 6} = \frac{3(y + 3)}{y(y — 2) + 3(y — 2)} = \)
\( = \frac{3(y + 3)}{(y — 2)(y + 3)} = \frac{3}{y — 2}; \)

2) \( \frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 3x + 2} = \frac{x^2 + 6x + 9 — 4}{x^2 + 2x + x + 2} = \frac{(x + 3)^2 — 2^2}{x(x + 2) + (x + 2)} = \)
\( = \frac{(x + 3 — 2)(x + 3 + 2)}{(x + 2)(x + 1)} = \frac{(x + 1)(x + 5)}{(x + 2)(x + 1)} = \frac{x + 5}{x + 2}; \)

3) \( \frac{2x^3 — 9x^2 + 27x — 27}{4x^2 — 9} = \frac{x^3 + x^3 — 9x^2 + 27x — 27}{4x^2 — 9} = \)
\( = \frac{x^3 + (x — 3)^3}{4x^2 — 9} = \frac{(x + (x — 3))(x^2 — x(x — 3) + (x — 3)^2)}{4x^2 — 9} = \)
\( = \frac{(2x — 3)(x^2 — x^2 + 3x + x^2 — 6x + 9)}{(2x — 3)(2x + 3)} = \frac{(2x — 3)(x^2 — 3x + 9)}{(2x — 3)(2x + 3)} = \)
\( = \frac{x^2 — 3x + 9}{2x + 3}; \)

4) \( \frac{z^4 + 7z^2 + 16}{z^2 + z + 4} = \frac{z^4 + 8z^2 + 16 — z^2}{z^2 + z + 4} = \frac{(z^2 + 4)^2 — z^2}{z^2 + z + 4} = \)
\( = \frac{(z^2 + 4 — z)(z^2 + 4 + z)}{z^2 + z + 4} = z^2 — z + 4; \)

5) \( \frac{y^{55} + y^{54} + \cdots + y + 1}{y^{27} + y^{26} + \cdots + y + 1} = \frac{(y — 1)(y^{55} + y^{54} + \cdots + y + 1)}{(y — 1)(y^{27} + y^{26} + \cdots + y + 1)} = \)
\( = \frac{y^{56} — 1}{y^{28} — 1} = \frac{(y^{28} — 1)(y^{28} + 1)}{y^{28} — 1} = y^{28} + 1; \)

6) \( \frac{a^{59} — a^{58} + a^{57} — \cdots + a — 1}{a^{19} — a^{18} + a^{17} — \cdots + a — 1} = \)
\( = \frac{(a + 1)(a^{59} — a^{58} + a^{57} — \cdots + a — 1)}{(a + 1)(a^{19} — a^{18} + a^{17} — \cdots + a — 1)} = \frac{a^{60} + 1}{a^{20} + 1} = \)
\( = \frac{(a^{20})^3 + 1}{a^{20} + 1} = \frac{(a^{20} + 1)(a^{40} — a^{20} + 1)}{a^{20} + 1} = a^{40} — a^{20} + 1.\)

1) \( \frac{3y + 9}{y^2 + y — 6} \)

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители:

\( \frac{3(y + 3)}{y^2 — 2y + 3y — 6} = \frac{3(y + 3)}{y(y — 2) + 3(y — 2)} \)

Теперь вынесем общий множитель \( (y — 2) \) из знаменателя:

\( \frac{3(y + 3)}{(y — 2)(y + 3)} \)

Теперь можно сократить общий множитель \( (y + 3) \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{3}{y — 2} \)

2) \( \frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 3x + 2} \)

Разделим числитель и знаменатель на два выражения:

\( x^2 + 6x + 9 — 4 \) и \( x^2 + 2x + x + 2 \), что даёт дробь:

\( \frac{(x + 3)^2 — 2^2}{x(x + 2) + (x + 2)} \)

Теперь упростим дробь:

\( \frac{(x + 3 — 2)(x + 3 + 2)}{(x + 2)(x + 1)} \)

Теперь можно сократить общий множитель \( (x + 1) \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{x + 5}{x + 2} \)

3) \( \frac{2x^3 — 9x^2 + 27x — 27}{4x^2 — 9} \)

Разделим числитель на два выражения:

\( x^3 + x^3 — 9x^2 + 27x — 27 \), что даёт дробь:

\( \frac{x^3 + (x — 3)^3}{4x^2 — 9} \)

Теперь раскроем скобки и упростим дробь:

\( \frac{(x + (x — 3))(x^2 — x(x — 3) + (x — 3)^2)}{4x^2 — 9} \)

Теперь упростим выражения в числителе:

\( \frac{(2x — 3)(x^2 — x^2 + 3x + x^2 — 6x + 9)}{(2x — 3)(2x + 3)} \)

Преобразуем выражения и упростим:

\( \frac{(2x — 3)(x^2 — 3x + 9)}{(2x — 3)(2x + 3)} \)

Сократим общий множитель \( (2x — 3) \):

\( \frac{x^2 — 3x + 9}{2x + 3} \)

4) \( \frac{z^4 + 7z^2 + 16}{z^2 + z + 4} \)

Разделим числитель на два выражения:

\( z^4 + 8z^2 + 16 — z^2 \), что даёт дробь:

\( \frac{(z^2 + 4)^2 — z^2}{z^2 + z + 4} \)

Теперь разложим разницу квадратов:

\( \frac{(z^2 + 4 — z)(z^2 + 4 + z)}{z^2 + z + 4} \)

Получаем результат:

\( z^2 — z + 4 \)

5) \( \frac{y^{55} + y^{54} + \cdots + y + 1}{y^{27} + y^{26} + \cdots + y + 1} \)

Разделим числитель и знаменатель на выражения:

\( \frac{(y — 1)(y^{55} + y^{54} + \cdots + y + 1)}{(y — 1)(y^{27} + y^{26} + \cdots + y + 1)} \)

Теперь сократим общий множитель \( (y — 1) \):

\( \frac{y^{56} — 1}{y^{28} — 1} \)

Теперь раскроем разницу квадратов:

\( \frac{(y^{28} — 1)(y^{28} + 1)}{y^{28} — 1} \)

Сократим общий множитель:

\( y^{28} + 1 \)

6) \( \frac{a^{59} — a^{58} + a^{57} — \cdots + a — 1}{a^{19} — a^{18} + a^{17} — \cdots + a — 1} \)

Разделим числитель и знаменатель на выражения:

\( \frac{(a + 1)(a^{59} — a^{58} + a^{57} — \cdots + a — 1)}{(a + 1)(a^{19} — a^{18} + a^{17} — \cdots + a — 1)} \)

Теперь сократим общий множитель \( (a + 1) \):

\( \frac{a^{60} + 1}{a^{20} + 1} \)

Теперь раскроем кубы:

\( \frac{(a^{20})^3 + 1}{a^{20} + 1} \)

Теперь разложим разницу кубов:

\( \frac{(a^{20} + 1)(a^{40} — a^{20} + 1)}{a^{20} + 1} \)

Сократим общий множитель:

\( a^{40} — a^{20} + 1 \)