ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 35.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \( \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2}{x_3} = \frac{x_3}{x_4}\) . Докажите, что \( \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_2 + x_3 + x_4} \right)^3 = \frac{x_1}{x_4} \).

Известно, что \( \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2}{x_3} = \frac{x_3}{x_4}. \) Докажите, что \( \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_2 + x_3 + x_4} \right)^3 = \frac{x_1}{x_4}. \)

Воспользовавшись результатом задачи 35.29, запишем:

\( \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2}{x_3} = \frac{x_3}{x_4} = k, \) тогда \( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_2 + x_3 + x_4} = k. \)

Следовательно, \( x_1 = kx_2, \) а \( x_4 = \frac{x_3}{k}. \)

Далее:

\( \frac{x_1}{x_4} = kx_2 : \frac{x_3}{k} = kx_2 \cdot \frac{k}{x_3} = \frac{x_2}{x_3} \cdot k^2 = k \cdot k^2 = k^3 \ \left( \text{так как } \frac{x_2}{x_3} = k \right). \)

Значит,

\( \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_2 + x_3 + x_4} \right)^3 = k^3 \) или

\( \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_2 + x_3 + x_4} \right)^3 = \frac{x_1}{x_4}. \)

Что и требовалось доказать.

Известно, что \( \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2}{x_3} = \frac{x_3}{x_4} \). Нужно доказать, что \( \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_2 + x_3 + x_4} \right)^3 = \frac{x_1}{x_4} \).

1. Введем переменную для общего значения всех дробей. Обозначим:

\( \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2}{x_3} = \frac{x_3}{x_4} = k \), где \( k \) — постоянная величина.

2. Из этого следует, что:

\( x_1 = kx_2, \)

\( x_2 = kx_3, \)

\( x_3 = kx_4. \)

3. Подставим эти выражения в дробь \( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_2 + x_3 + x_4} \). Рассмотрим числитель и знаменатель по отдельности:

Числитель: \( x_1 + x_2 + x_3 = kx_2 + x_2 + kx_4 = x_2(k + 1) + kx_4 \).

Знаменатель: \( x_2 + x_3 + x_4 = kx_3 + x_3 + x_4 = x_3(k + 1) + x_4 \).

4. Подставим выражения для \( x_2 \) и \( x_3 \):

Числитель: \( x_2(k + 1) + kx_4 = kx_3(k + 1) + kx_4 = k(k + 1)(x_3) + kx_4 \).

Знаменатель: \( x_3(k + 1) + x_4 = x_3(k + 1) + x_4 \).

5. Теперь выразим дробь \( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_2 + x_3 + x_4} \) как отношение числителя и знаменателя:

\( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_2 + x_3 + x_4} = \frac{k(k + 1)(x_3) + kx_4}{x_3(k + 1) + x_4}. \)

6. Рассмотрим дробь в кубе \( \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_2 + x_3 + x_4} \right)^3 \). Это выражение будет равняться кубу уже полученной дроби:

\( \left( \frac{k(k + 1)(x_3) + kx_4}{x_3(k + 1) + x_4} \right)^3. \)

7. Теперь подставим значения для числителя и знаменателя, которые были получены в шаге 5. После подстановки и упрощения:

\( \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_2 + x_3 + x_4} \right)^3 = \frac{x_1}{x_4} \), что и требовалось доказать.