ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 35.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для положительных чисел a, b и c выполняется равенство \( \frac{a}{b + c} = \frac{b}{a + c} = \frac{c}{a + b}\). Найдите значение выражения \( \frac{(a + b)^2}{c^2} + \frac{(a + c)^2}{b^2} + \frac{(b + c)^2}{a^2}\).

Воспользовавшись результатом задачи 35.29, запишем:

\( \frac{a}{b + c} = \frac{b}{a + c} = \frac{c}{a + b} = \frac{a + b + c}{b + c + a + c + a + b} = \frac{a + b + c}{2a + 2b + 2c} = \)

\( = \frac{(a + b + c)}{2(a + b + c)} = \frac{1}{2}. \)

Значит: \( \frac{a}{b + c} = \frac{b}{a + c} = \frac{c}{a + b} = \frac{1}{2}. \)

Или: \( \frac{a}{b + c} = \frac{1}{2};\ \frac{b}{a + c} = \frac{1}{2};\ \frac{c}{a + b} = \frac{1}{2}. \)

Тогда: \( \frac{b + c}{a} = \frac{2}{1};\ \frac{a + c}{b} = \frac{2}{1};\ \frac{a + b}{c} = \frac{2}{1}. \)

Следовательно:

\( \frac{(a + b)^2}{c^2} + \frac{(a + c)^2}{b^2} + \frac{(b + c)^2}{a^2} = \left( \frac{a + b}{c} \right)^2 + \left( \frac{a + c}{b} \right)^2 + \left( \frac{b + c}{a} \right)^2 = \)

\( = 2^2 + 2^2 + 2^2 = 4 + 4 + 4 = 12. \)

Ответ: 12.

Дано равенство для положительных чисел \( a \), \( b \) и \( c \):

\( \frac{a}{b + c} = \frac{b}{a + c} = \frac{c}{a + b}. \)

Необходимо найти значение выражения:

\( \frac{(a + b)^2}{c^2} + \frac{(a + c)^2}{b^2} + \frac{(b + c)^2}{a^2}. \)

Для начала из равенства \( \frac{a}{b + c} = \frac{b}{a + c} = \frac{c}{a + b} \) можно сделать следующее замечание:

Пусть все эти выражения равны некоторой константе \( k \). Таким образом, имеем систему:

\( \frac{a}{b + c} = k, \quad \frac{b}{a + c} = k, \quad \frac{c}{a + b} = k. \)

Решим каждое из этих уравнений относительно \( a \), \( b \) и \( c \):

\( a = k(b + c), \quad b = k(a + c), \quad c = k(a + b). \)

Теперь подставим \( a = k(b + c) \) и \( b = k(a + c) \) в равенства:

\( a = k(b + c) = k(k(a + c) + c) = k^2(a + c) + kc. \)

Получаем квадратное уравнение относительно \( a \), которое можно решить.

Однако, для упрощения, рассмотрим, что все эти выражения равны между собой, и перепишем их в виде:

\( \frac{a}{b + c} = \frac{b}{a + c} = \frac{c}{a + b} = \frac{1}{2}. \)

Тогда \( a = \frac{1}{2}(b + c) \), \( b = \frac{1}{2}(a + c) \) и \( c = \frac{1}{2}(a + b) \).

Подставляем эти значения в выражение, которое нужно найти:

\( \frac{(a + b)^2}{c^2} + \frac{(a + c)^2}{b^2} + \frac{(b + c)^2}{a^2}. \)

Каждое из этих слагаемых можно переписать как:

\( \frac{(a + b)^2}{c^2} = \frac{(a + b)^2}{(\frac{a + b}{2})^2} = 4, \)

\( \frac{(a + c)^2}{b^2} = \frac{(a + c)^2}{(\frac{a + c}{2})^2} = 4, \)

\( \frac{(b + c)^2}{a^2} = \frac{(b + c)^2}{(\frac{b + c}{2})^2} = 4. \)

Таким образом, результат выражения:

\( 4 + 4 + 4 = 12. \)

Ответ: 12.