ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 35.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для положительных чисел a, b и c выполняется равенство \( \frac{a}{b + c + d} = \frac{b}{a + c + d} = \frac{c}{a + b + d} = \frac{d}{a + b + c}\). Найдите значение выражения \( \frac{a + b + c}{d} + \frac{a + b + d}{c} + \frac{a + c + d}{b} + \frac{b + c + d}{a}\).

Воспользовавшись результатом задачи 35.29, запишем:

\( \frac{a}{b + c + d} = \frac{b}{a + c + d} = \frac{c}{a + b + d} = \frac{d}{a + b + c} = \)

\( = \frac{a + b + c + d}{b + c + d + a + c + d + a + b + d + a + b + c} = \)

\( = \frac{a + b + c + d}{3a + 3b + 3c + 3d} = \frac{a + b + c + d}{3(a + b + c + d)} = \frac{1}{3}. \)

Значит: \( \frac{a}{b + c + d} = \frac{b}{a + c + d} = \frac{c}{a + b + d} = \frac{d}{a + b + c} = \frac{1}{3}. \)

Или: \( \frac{a}{b + c + d} = \frac{1}{3};\ \frac{b}{a + c + d} = \frac{1}{3};\ \frac{c}{a + b + d} = \frac{1}{3};\ \frac{d}{a + b + c} = \frac{1}{3}. \)

Тогда: \( \frac{b + c + d}{a} = \frac{3}{1};\ \frac{a + c + d}{b} = \frac{3}{1};\ \frac{a + b + d}{c} = \frac{3}{1};\ \frac{a + b + c}{d} = \frac{3}{1}. \)

Следовательно:

\( \frac{a + b + c}{d} + \frac{a + b + d}{c} + \frac{a + c + d}{b} + \frac{b + c + d}{a} = \)

\( = 3 + 3 + 3 + 3 = 3 \cdot 4 = 12. \)

Ответ: 12.

Дано равенство для положительных чисел \( a \), \( b \), \( c \) и \( d \):

\( \frac{a}{b + c + d} = \frac{b}{a + c + d} = \frac{c}{a + b + d} = \frac{d}{a + b + c}. \)

Необходимо найти значение выражения:

\( \frac{a + b + c}{d} + \frac{a + b + d}{c} + \frac{a + c + d}{b} + \frac{b + c + d}{a}. \)

Для начала, из равенства \( \frac{a}{b + c + d} = \frac{b}{a + c + d} = \frac{c}{a + b + d} = \frac{d}{a + b + c} \), можно заключить, что все эти выражения равны некоторой константе \( k \). Таким образом, получаем систему:

\( \frac{a}{b + c + d} = k, \quad \frac{b}{a + c + d} = k, \quad \frac{c}{a + b + d} = k, \quad \frac{d}{a + b + c} = k. \)

Теперь решим каждое из этих уравнений относительно \( a \), \( b \), \( c \) и \( d \):

\( a = k(b + c + d), \quad b = k(a + c + d), \quad c = k(a + b + d), \)

\(d = k(a + b + c). \)

Из этих выражений видно, что все переменные пропорциональны сумме всех остальных, что предполагает, что \( a = b = c = d \). Теперь подставим это в исходное выражение:

Подставляя \( a = b = c = d \), получаем:

\( \frac{a + b + c}{d} = \frac{3a}{a} = 3, \)

\( \frac{a + b + d}{c} = \frac{3a}{a} = 3, \)

\( \frac{a + c + d}{b} = \frac{3a}{a} = 3, \)

\( \frac{b + c + d}{a} = \frac{3a}{a} = 3. \)

Теперь складываем все эти выражения:

\( 3 + 3 + 3 + 3 = 12. \)

Ответ: 12.