ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 35.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте данные дроби в виде дробей с одинаковыми знаменателями:

1) \( \frac{1}{8ab} \) и \( \frac{1}{2a^3} \)

2) \( \frac{3x}{7m^3n^3} \) и \( \frac{4y}{3m^2n^4} \)

3) \( \frac{a + b}{a — b} \) и \( \frac{2}{a^2 — b^2} \)

4) \( \frac{3d}{m — n} \) и \( \frac{8p}{(m — n)^2} \)

5) \( \frac{x}{2x + 1} \) и \( \frac{x}{3x — 2} \)

6) \( \frac{a — b}{3a + 3b} \) и \( \frac{a}{a^2 — b^2} \)

7) \( \frac{3a}{4a — 4} \) и \( \frac{2a}{5 — 5a} \)

8) \( \frac{7a}{b — 3} \) и \( \frac{c}{9 — b^2} \)

1) \( \frac{1}{8ab} \) и \( \frac{1}{2a^3} \). Общий знаменатель равен \( 8a^3b \).

Тогда: \( 8a^3b : 8ab = a^2; \quad 8a^3b : 2a^3 = 4b. \)

Значит: \( \frac{1}{8ab} = \frac{a^2}{8a^3b}; \quad \frac{1}{2a^3} = \frac{4b}{8a^3b}. \)

2) \( \frac{3x}{7m^3n^3} \) и \( \frac{4y}{3m^2n^4} \). Общий знаменатель равен \( 21m^3n^4 \).

Тогда: \( 21m^3n^4 : 7m^3n^3 = 3n \Longrightarrow 3x \cdot 3n = 9xn; \)

\( 21m^3n^4 : 3m^2n^4 = 7m \Longrightarrow 4y \cdot 7m = 28ym. \)

Значит: \( \frac{3x}{7m^3n^3} = \frac{9xn}{21m^3n^4}; \quad \frac{4y}{3m^2n^4} = \frac{28ym}{21m^3n^4}. \)

3) \( \frac{a + b}{a — b} \) и \( \frac{2}{a^2 — b^2} \). Общий знаменатель равен \( (a^2 — b^2) \).

Тогда: \( (a^2 — b^2) : (a — b) = \frac{(a — b)(a + b)}{(a — b)} = a + b \Longrightarrow \)

\( (a + b)(a + b) = (a + b)^2. \)

Значит: \( \frac{a + b}{a — b} = \frac{(a + b)^2}{a^2 — b^2}; \quad \frac{2}{a^2 — b^2}.\)

4) \( \frac{3d}{m — n} \) и \( \frac{8p}{(m — n)^2} \). Общий знаменатель равен \( (m — n)^2 \).

Тогда: \( (m — n)^2 : (m — n) = m — n \Longrightarrow 3d(m — n).\)

Значит: \( \frac{3d}{m — n} = \frac{3d(m — n)}{(m — n)^2}; \quad \frac{8p}{(m — n)^2} \).

5) \( \frac{x}{2x + 1} \) и \( \frac{x}{3x — 2} \). Общий знаменатель равен \( (2x + 1)(3x — 2) \).

Значит: \( \frac{x}{2x + 1} = \frac{x(3x — 2)}{(2x + 1)(3x — 2)}; \quad \frac{x}{3x — 2} = \frac{x(2x + 1)}{(2x + 1)(3x — 2)}.\)

6) \( \frac{a — b}{3a + 3b} \) и \( \frac{a}{a^2 — b^2} \). Общий знаменатель равен \( 3(a^2 — b^2) \).

Тогда: \( \frac{3(a^2 — b^2)}{3a + 3b} = \frac{3(a — b)(a + b)}{3(a + b)} = a — b \Longrightarrow (a — b)(a — b) = (a — b)^2; \)

\( \frac{3(a^2 — b^2)}{a^2 — b^2} = 3 \Longrightarrow a \cdot 3 = 3a. \)

Значит: \( \frac{a — b}{3a + 3b} = \frac{(a — b)^2}{3(a^2 — b^2)}; \quad \frac{a}{a^2 — b^2} = \frac{3a}{3(a^2 — b^2)}.\)

7) \( \frac{3a}{4a — 4} \) и \( \frac{2a}{5 — 5a} \). Общий знаменатель равен \( 20(a — 1) \).

Тогда: \( \frac{20(a — 1)}{4a — 4} = \frac{20(a — 1)}{4(a — 1)} = 5 \Longrightarrow 3a \cdot 5 = 15a; \)

\( \frac{20(a — 1)}{5 — 5a} = \frac{20(a — 1)}{-5(a — 1)} = -4 \Longrightarrow 2a \cdot (-4) = -8a. \)

Значит: \( \frac{3a}{4a — 4} = \frac{15a}{20(a — 1)}; \quad \frac{2a}{5 — 5a} = -\frac{8a}{20(a — 1)}.\)

8) \( \frac{7a}{b — 3} \) и \( \frac{c}{9 — b^2} \). Общий знаменатель равен \( (9 — b^2) \).

Тогда: \( \frac{9 — b^2}{b — 3} = \frac{-(b — 3)(b + 3)}{b — 3} = -(b + 3) \Longrightarrow \)

\( 7a \cdot (-(b + 3)) = -7a(b + 3).\)

Значит: \( \frac{7a}{b — 3} = -\frac{7a(b + 3)}{9 — b^2}; \quad \frac{c}{9 — b^2}.\)

1) Рассмотрим дроби \( \frac{1}{8ab} \) и \( \frac{1}{2a^3} \). Нужно привести эти дроби к одинаковым знаменателям.

Общий знаменатель для дробей \( \frac{1}{8ab} \) и \( \frac{1}{2a^3} \) равен \( 8a^3b \).

Для того чтобы привести эти дроби к одинаковому знаменателю:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби \( \frac{1}{8ab} \) на \( a^2 \), получаем:

\( \frac{1}{8ab} = \frac{a^2}{8a^3b}. \)

2. Умножим числитель и знаменатель второй дроби \( \frac{1}{2a^3} \) на \( 4b \), получаем:

\( \frac{1}{2a^3} = \frac{4b}{8a^3b}. \)

Теперь обе дроби имеют одинаковые знаменатели:

\( \frac{a^2}{8a^3b} \) и \( \frac{4b}{8a^3b} \).

2) Рассмотрим дроби \( \frac{3x}{7m^3n^3} \) и \( \frac{4y}{3m^2n^4} \). Нужно привести эти дроби к одинаковым знаменателям.

Общий знаменатель для дробей \( \frac{3x}{7m^3n^3} \) и \( \frac{4y}{3m^2n^4} \) равен \( 21m^3n^4 \).

Для того чтобы привести эти дроби к одинаковому знаменателю:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби \( \frac{3x}{7m^3n^3} \) на \( 3n \), получаем:

\( \frac{3x}{7m^3n^3} = \frac{9xn}{21m^3n^4}. \)

2. Умножим числитель и знаменатель второй дроби \( \frac{4y}{3m^2n^4} \) на \( 7m \), получаем:

\( \frac{4y}{3m^2n^4} = \frac{28ym}{21m^3n^4}. \)

Теперь обе дроби имеют одинаковые знаменатели:

\( \frac{9xn}{21m^3n^4} \) и \( \frac{28ym}{21m^3n^4} \).

3) Рассмотрим дроби \( \frac{a + b}{a — b} \) и \( \frac{2}{a^2 — b^2} \). Нужно привести эти дроби к одинаковым знаменателям.

Общий знаменатель для дробей \( \frac{a + b}{a — b} \) и \( \frac{2}{a^2 — b^2} \) равен \( a^2 — b^2 \).

Для того чтобы привести эти дроби к одинаковому знаменателю:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби \( \frac{a + b}{a — b} \) на \( (a + b) \), получаем:

\( \frac{a + b}{a — b} = \frac{(a + b)^2}{a^2 — b^2}. \)

Теперь обе дроби имеют одинаковые знаменатели:

\( \frac{(a + b)^2}{a^2 — b^2} \) и \( \frac{2}{a^2 — b^2} \).

4) Рассмотрим дроби \( \frac{3d}{m — n} \) и \( \frac{8p}{(m — n)^2} \). Нужно привести эти дроби к одинаковым знаменателям.

Общий знаменатель для дробей \( \frac{3d}{m — n} \) и \( \frac{8p}{(m — n)^2} \) равен \( (m — n)^2 \).

Для того чтобы привести эти дроби к одинаковому знаменателю:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби \( \frac{3d}{m — n} \) на \( (m — n) \), получаем:

\( \frac{3d}{m — n} = \frac{3d(m — n)}{(m — n)^2}. \)

Теперь обе дроби имеют одинаковые знаменатели:

\( \frac{3d(m — n)}{(m — n)^2} \) и \( \frac{8p}{(m — n)^2} \).

5) Рассмотрим дроби \( \frac{x}{2x + 1} \) и \( \frac{x}{3x — 2} \). Нужно привести эти дроби к одинаковым знаменателям.

Общий знаменатель для дробей \( \frac{x}{2x + 1} \) и \( \frac{x}{3x — 2} \) равен \( (2x + 1)(3x — 2) \).

Для того чтобы привести эти дроби к одинаковому знаменателю:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби \( \frac{x}{2x + 1} \) на \( (3x — 2) \), получаем:

\( \frac{x}{2x + 1} = \frac{x(3x — 2)}{(2x + 1)(3x — 2)}. \)

2. Умножим числитель и знаменатель второй дроби \( \frac{x}{3x — 2} \) на \( (2x + 1) \), получаем:

\( \frac{x}{3x — 2} = \frac{x(2x + 1)}{(2x + 1)(3x — 2)}. \)

Теперь обе дроби имеют одинаковые знаменатели:

\( \frac{x(3x — 2)}{(2x + 1)(3x — 2)} \) и \( \frac{x(2x + 1)}{(2x + 1)(3x — 2)} \).

6) Рассмотрим дроби \( \frac{a — b}{3a + 3b} \) и \( \frac{a}{a^2 — b^2} \). Нужно привести эти дроби к одинаковым знаменателям.

Общий знаменатель для дробей \( \frac{a — b}{3a + 3b} \) и \( \frac{a}{a^2 — b^2} \) равен \( 3(a^2 — b^2) \).

Для того чтобы привести эти дроби к одинаковому знаменателю:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби \( \frac{a — b}{3a + 3b} \) на \( (a + b) \), получаем:

\( \frac{a — b}{3a + 3b} = \frac{(a — b)^2}{3(a^2 — b^2)}. \)

2. Умножим числитель и знаменатель второй дроби \( \frac{a}{a^2 — b^2} \) на \( 3 \), получаем:

\( \frac{a}{a^2 — b^2} = \frac{3a}{3(a^2 — b^2)}. \)

Теперь обе дроби имеют одинаковые знаменатели:

\( \frac{(a — b)^2}{3(a^2 — b^2)} \) и \( \frac{3a}{3(a^2 — b^2)} \).

7) Рассмотрим дроби \( \frac{3a}{4a — 4} \) и \( \frac{2a}{5 — 5a} \). Нужно привести эти дроби к одинаковым знаменателям.

Общий знаменатель для дробей \( \frac{3a}{4a — 4} \) и \( \frac{2a}{5 — 5a} \) равен \( 20(a — 1) \).

Для того чтобы привести эти дроби к одинаковому знаменателю:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби \( \frac{3a}{4a — 4} \) на \( 5 \), получаем:

\( \frac{3a}{4a — 4} = \frac{15a}{20(a — 1)}. \)

2. Умножим числитель и знаменатель второй дроби \( \frac{2a}{5 — 5a} \) на \( -4 \), получаем:

\( \frac{2a}{5 — 5a} = -\frac{8a}{20(a — 1)}. \)

Теперь обе дроби имеют одинаковые знаменатели:

\( \frac{15a}{20(a — 1)} \) и \( -\frac{8a}{20(a — 1)} \).

8) Рассмотрим дроби \( \frac{7a}{b — 3} \) и \( \frac{c}{9 — b^2} \). Нужно привести эти дроби к одинаковым знаменателям.

Общий знаменатель для дробей \( \frac{7a}{b — 3} \) и \( \frac{c}{9 — b^2} \) равен \( 9 — b^2 \).

Для того чтобы привести эти дроби к одинаковому знаменателю:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби \( \frac{7a}{b — 3} \) на \( -(b + 3) \), получаем:

\( \frac{7a}{b — 3} = -\frac{7a(b + 3)}{9 — b^2}. \)

Теперь обе дроби имеют одинаковые знаменатели:

\( -\frac{7a(b + 3)}{9 — b^2} \) и \( \frac{c}{9 — b^2} \).