ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 35.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Приведите к общему знаменателю дроби:

1) \( \frac{4}{15x^2y^2} \) и \( \frac{1}{10x^3y} \)

2) \( \frac{c}{6a^4b^5} \) и \( \frac{d}{9ab^2} \)

3) \( \frac{x}{y — 5} \) и \( \frac{z}{y^2 — 25} \)

4) \( \frac{m + n}{m^2 — mn} \) и \( \frac{2m — 3n}{m^2 — n^2} \)

5) \( \frac{x + 1}{x^2 — xy} \) и \( \frac{y — 1}{xy — y^2} \)

6) \( \frac{6a}{a — 2b} \) и \( \frac{3a}{a + b} \)

7) \( \frac{1 + c^2}{c^2 — 16} \) и \( \frac{c}{4 — c} \)

8) \( \frac{2m + 9}{m^2 + 5m + 25} \) и \( \frac{m}{m — 5} \)

1) \( \frac{4}{15x^2y^2} \) и \( \frac{1}{10x^3y} \). Общий знаменатель равен \( 30x^3y^2 \).

Тогда: \( 30x^3y^2 : 15x^2y^2 = 2x \Longrightarrow 4 \cdot 2x = 8x; \)

\( 30x^3y^2 : 10x^3y = 3y \Longrightarrow 1 \cdot 3y = 3y. \)

Значит: \( \frac{4}{15x^2y^2} = \frac{8x}{30x^3y^2}; \quad \frac{1}{10x^3y} = \frac{3y}{30x^3y^2}. \)

2) \( \frac{c}{6a^4b^5} \) и \( \frac{d}{9ab^2} \). Общий знаменатель равен \( 18a^4b^5 \).

Тогда: \( 18a^4b^5 : 6a^4b^5 = 3 \Longrightarrow c \cdot 3 = 3c; \)

\( 18a^4b^5 : 9ab^2 = 2a^3b^3 \Longrightarrow d \cdot 2a^3b^3 = 2a^3b^3d. \)

Значит: \( \frac{c}{6a^4b^5} = \frac{3c}{18a^4b^5}; \quad \frac{d}{9ab^2} = \frac{2a^3b^3d}{18a^4b^5}. \)

3) \( \frac{x}{y — 5} \) и \( \frac{z}{y^2 — 25} \). Общий знаменатель равен \( (y^2 — 25) \).

Тогда: \( \frac{y^2 — 25}{y — 5} = y + 5 \Longrightarrow x(y + 5). \)

Значит: \( \frac{x}{y — 5} = \frac{x(y + 5)}{y^2 — 25}; \quad \frac{z}{y^2 — 25}. \)

4) \( \frac{m + n}{m^2 — mn} \) и \( \frac{2m — 3n}{m^2 — n^2} \). Общий знаменатель равен \( m(m^2 — n^2) \).

Тогда: \( \frac{m(m^2 — n^2)}{m^2 — mn} = \frac{m(m — n)(m + n)}{m(m — n)} = m + n \Longrightarrow (m + n)^2; \)

\( \frac{m(m^2 — n^2)}{m^2 — n^2} = m \Longrightarrow m(2m — 3n). \)

Значит: \( \frac{m + n}{m^2 — mn} = \frac{(m + n)^2}{m(m^2 — n^2)}; \quad \frac{2m — 3n}{m^2 — n^2} = \frac{m(2m — 3n)}{m(m^2 — n^2)}. \)

5) \( \frac{x + 1}{x^2 — xy} \) и \( \frac{y — 1}{xy — y^2} \). Общий знаменатель равен \( xy(x — y) \).

Тогда: \( \frac{xy(x — y)}{x^2 — xy} = \frac{xy(x — y)}{x(x — y)} = y \Longrightarrow y(x + 1); \)

\( \frac{xy(x — y)}{xy — y^2} = \frac{xy(x — y)}{y(x — y)} = x \Longrightarrow x(y — 1). \)

Значит: \( \frac{x + 1}{x^2 — xy} = \frac{y(x + 1)}{xy(x — y)}; \quad \frac{y — 1}{xy — y^2} = \frac{x(y — 1)}{xy(x — y)}. \)

6) \( \frac{6a}{a — 2b} \) и \( \frac{3a}{a + b} \). Общий знаменатель равен \( (a — 2b)(a + b) \).

Значит: \( \frac{6a}{a — 2b} = \frac{6a(a + b)}{(a — 2b)(a + b)}; \quad \frac{3a}{a + b} = \frac{3a(a — 2b)}{(a — 2b)(a + b)}. \)

7) \( \frac{1 + c^2}{c^2 — 16} \) и \( \frac{c}{4 — c} \). Общий знаменатель равен \( (c^2 — 16) \).

Тогда: \( \frac{c^2 — 16}{4 — c} = \frac{(c — 4)(c + 4)}{-(c — 4)} = -(c + 4) \Longrightarrow -c(c + 4).\)

Значит: \( \frac{1 + c^2}{c^2 — 16}; \quad \frac{c}{4 — c} = -\frac{c(c + 4)}{c^2 — 16}. \)

8) \( \frac{2m + 9}{m^2 + 5m + 25} \) и \( \frac{m}{m — 5} \). Общий знаменатель равен \( (m — 5)(m^2 + 5m + 25) = m^3 — 125 \).

Тогда: \( \frac{m^3 — 125}{m^2 + 5m + 25} = m — 5 \Longrightarrow (2m + 9)(m — 5); \)

\( \frac{m^3 — 125}{m — 5} = m^2 + 5m + 25 \Longrightarrow m(m^2 + 5m + 25). \)

Значит: \( \frac{2m + 9}{m^2 + 5m + 25} = \frac{(2m + 9)(m — 5)}{m^3 — 125}; \quad \frac{m}{m — 5} = \frac{m(m^2 + 5m + 25)}{m^3 — 125}.\)

1) Рассмотрим дроби \( \frac{4}{15x^2y^2} \) и \( \frac{1}{10x^3y} \). Нужно привести эти дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель для дробей \( \frac{4}{15x^2y^2} \) и \( \frac{1}{10x^3y} \) равен \( 30x^3y^2 \).

Для того чтобы привести эти дроби к общему знаменателю:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби \( \frac{4}{15x^2y^2} \) на \( 2x \), получаем:

\( \frac{4}{15x^2y^2} = \frac{8x}{30x^3y^2}. \)

2. Умножим числитель и знаменатель второй дроби \( \frac{1}{10x^3y} \) на \( 3y \), получаем:

\( \frac{1}{10x^3y} = \frac{3y}{30x^3y^2}. \)

Теперь обе дроби имеют одинаковые знаменатели:

\( \frac{8x}{30x^3y^2} \) и \( \frac{3y}{30x^3y^2} \).

2) Рассмотрим дроби \( \frac{c}{6a^4b^5} \) и \( \frac{d}{9ab^2} \). Нужно привести эти дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель для дробей \( \frac{c}{6a^4b^5} \) и \( \frac{d}{9ab^2} \) равен \( 18a^4b^5 \).

Для того чтобы привести эти дроби к общему знаменателю:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби \( \frac{c}{6a^4b^5} \) на \( 3 \), получаем:

\( \frac{c}{6a^4b^5} = \frac{3c}{18a^4b^5}. \)

2. Умножим числитель и знаменатель второй дроби \( \frac{d}{9ab^2} \) на \( 2a^3b^3 \), получаем:

\( \frac{d}{9ab^2} = \frac{2a^3b^3d}{18a^4b^5}. \)

Теперь обе дроби имеют одинаковые знаменатели:

\( \frac{3c}{18a^4b^5} \) и \( \frac{2a^3b^3d}{18a^4b^5} \).

3) Рассмотрим дроби \( \frac{x}{y — 5} \) и \( \frac{z}{y^2 — 25} \). Нужно привести эти дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель для дробей \( \frac{x}{y — 5} \) и \( \frac{z}{y^2 — 25} \) равен \( (y^2 — 25) \).

Для того чтобы привести эти дроби к общему знаменателю:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби \( \frac{x}{y — 5} \) на \( (y + 5) \), получаем:

\( \frac{x}{y — 5} = \frac{x(y + 5)}{y^2 — 25}. \)

Теперь обе дроби имеют одинаковые знаменатели:

\( \frac{x(y + 5)}{y^2 — 25} \) и \( \frac{z}{y^2 — 25} \).

4) Рассмотрим дроби \( \frac{m + n}{m^2 — mn} \) и \( \frac{2m — 3n}{m^2 — n^2} \). Нужно привести эти дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель для дробей \( \frac{m + n}{m^2 — mn} \) и \( \frac{2m — 3n}{m^2 — n^2} \) равен \( m(m^2 — n^2) \).

Для того чтобы привести эти дроби к общему знаменателю:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби \( \frac{m + n}{m^2 — mn} \) на \( m(m — n) \), получаем:

\( \frac{m + n}{m^2 — mn} = \frac{(m + n)^2}{m(m^2 — n^2)}. \)

2. Умножим числитель и знаменатель второй дроби \( \frac{2m — 3n}{m^2 — n^2} \) на \( m \), получаем:

\( \frac{2m — 3n}{m^2 — n^2} = \frac{m(2m — 3n)}{m(m^2 — n^2)}. \)

Теперь обе дроби имеют одинаковые знаменатели:

\( \frac{(m + n)^2}{m(m^2 — n^2)} \) и \( \frac{m(2m — 3n)}{m(m^2 — n^2)} \).

5) Рассмотрим дроби \( \frac{x + 1}{x^2 — xy} \) и \( \frac{y — 1}{xy — y^2} \). Нужно привести эти дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель для дробей \( \frac{x + 1}{x^2 — xy} \) и \( \frac{y — 1}{xy — y^2} \) равен \( xy(x — y) \).

Для того чтобы привести эти дроби к общему знаменателю:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби \( \frac{x + 1}{x^2 — xy} \) на \( y(x — y) \), получаем:

\( \frac{x + 1}{x^2 — xy} = \frac{y(x + 1)}{xy(x — y)}. \)

2. Умножим числитель и знаменатель второй дроби \( \frac{y — 1}{xy — y^2} \) на \( x(x — y) \), получаем:

\( \frac{y — 1}{xy — y^2} = \frac{x(y — 1)}{xy(x — y)}. \)

Теперь обе дроби имеют одинаковые знаменатели:

\( \frac{y(x + 1)}{xy(x — y)} \) и \( \frac{x(y — 1)}{xy(x — y)} \).

6) Рассмотрим дроби \( \frac{6a}{a — 2b} \) и \( \frac{3a}{a + b} \). Нужно привести эти дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель для дробей \( \frac{6a}{a — 2b} \) и \( \frac{3a}{a + b} \) равен \( (a — 2b)(a + b) \).

Для того чтобы привести эти дроби к общему знаменателю:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби \( \frac{6a}{a — 2b} \) на \( (a + b) \), получаем:

\( \frac{6a}{a — 2b} = \frac{6a(a + b)}{(a — 2b)(a + b)}. \)

2. Умножим числитель и знаменатель второй дроби \( \frac{3a}{a + b} \) на \( (a — 2b) \), получаем:

\( \frac{3a}{a + b} = \frac{3a(a — 2b)}{(a — 2b)(a + b)}. \)

Теперь обе дроби имеют одинаковые знаменатели:

\( \frac{6a(a + b)}{(a — 2b)(a + b)} \) и \( \frac{3a(a — 2b)}{(a — 2b)(a + b)} \).

7) Рассмотрим дроби \( \frac{1 + c^2}{c^2 — 16} \) и \( \frac{c}{4 — c} \). Нужно привести эти дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель для дробей \( \frac{1 + c^2}{c^2 — 16} \) и \( \frac{c}{4 — c} \) равен \( (c^2 — 16) \).

Для того чтобы привести эти дроби к общему знаменателю:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби \( \frac{1 + c^2}{c^2 — 16} \) на \( 1 \), так как знаменатель уже совпадает:

\( \frac{1 + c^2}{c^2 — 16} \) остаётся без изменений.

2. Умножим числитель и знаменатель второй дроби \( \frac{c}{4 — c} \) на \( -1 \), получаем:

\( \frac{c}{4 — c} = -\frac{c(c + 4)}{c^2 — 16}. \)

Теперь обе дроби имеют одинаковые знаменатели:

\( \frac{1 + c^2}{c^2 — 16} \) и \( -\frac{c(c + 4)}{c^2 — 16}. \)

8) Рассмотрим дроби \( \frac{2m + 9}{m^2 + 5m + 25} \) и \( \frac{m}{m — 5} \). Общий знаменатель равен \( (m — 5)(m^2 + 5m + 25) = m^3 — 125 \).

Для того чтобы привести эти дроби к общему знаменателю:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби \( \frac{2m + 9}{m^2 + 5m + 25} \) на \( (m — 5) \), получаем:

\( \frac{2m + 9}{m^2 + 5m + 25} = \frac{(2m + 9)(m — 5)}{m^3 — 125}. \)

2. Умножим числитель и знаменатель второй дроби \( \frac{m}{m — 5} \) на \( (m^2 + 5m + 25) \), получаем:

\( \frac{m}{m — 5} = \frac{m(m^2 + 5m + 25)}{m^3 — 125}. \)

Теперь обе дроби имеют одинаковые знаменатели:

\( \frac{(2m + 9)(m — 5)}{m^3 — 125} \) и \( \frac{m(m^2 + 5m + 25)}{m^3 — 125}.