ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 35.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сократите дробь:

1) \( \frac{2m^2 — 72n^2}{(4m + 24n)^2}  \)

2) \( \frac{a^3 — 8}{ab — a — 2b + 2}  \)

3) \( \frac{a^3 + 2a^2b + ab^2}{a^3 — ab^2} \)

1) \( \frac{2m^2 — 72n^2}{(4m + 24n)^2} = \frac{2(m^2 — 36n^2)}{(4(m + 6n))^2} = \frac{2(m — 6n)(m + 6n)}{16(m + 6n)^2} = \frac{m — 6n}{8(m + 6n)}; \)

2) \( \frac{a^3 — 8}{ab — a — 2b + 2} = \frac{(a — 2)(a^2 + 2a + 4)}{a(b — 1) — 2(b — 1)} = \frac{(a — 2)(a^2 + 2a + 4)}{(b — 1)(a — 2)} = \frac{a^2 + 2a + 4}{b — 1}; \)

3) \( \frac{a^3 + 2a^2b + ab^2}{a^3 — ab^2} = \frac{a(a^2 + 2ab + b^2)}{a(a^2 — b^2)} = \frac{(a + b)^2}{(a — b)(a + b)} = \frac{a + b}{a — b}. \)

1) \( \frac{2m^2 — 72n^2}{(4m + 24n)^2} \)

Для начала рассмотрим числитель: \( 2m^2 — 72n^2 \). Мы можем вынести общий множитель 2:

\( 2m^2 — 72n^2 = 2(m^2 — 36n^2) \).

Теперь рассмотрим знаменатель: \( (4m + 24n)^2 \). Мы можем вынести общий множитель 4 за скобки:

\( (4m + 24n) = 4(m + 6n) \), и тогда дробь становится:

\( \frac{2(m^2 — 36n^2)}{(4(m + 6n))^2} \).

Теперь в числителе у нас выражение \( m^2 — 36n^2 \), которое является разностью квадратов, и его можно разложить:

\( m^2 — 36n^2 = (m — 6n)(m + 6n) \), и дробь принимает вид:

\( \frac{2(m — 6n)(m + 6n)}{(4(m + 6n))^2} \).

В знаменателе у нас выражение \( (4(m + 6n))^2 \), которое можно записать как:

\( (4(m + 6n))^2 = 16(m + 6n)^2 \), и дробь теперь принимает вид:

\( \frac{2(m — 6n)(m + 6n)}{16(m + 6n)^2} \).

Теперь сокращаем на \( (m + 6n) \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{2(m — 6n)(m + 6n)}{16(m + 6n)^2} = \frac{m — 6n}{8(m + 6n)} \).

Итак, окончательное упрощение: \( \frac{m — 6n}{8(m + 6n)} \).

2) \( \frac{a^3 — 8}{ab — a — 2b + 2} \)

Для начала рассмотрим числитель: \( a^3 — 8 \). Это разность кубов, и мы можем разложить её по формуле разности кубов:

\( a^3 — 8 = (a — 2)(a^2 + 2a + 4) \).

Теперь рассмотрим знаменатель: \( ab — a — 2b + 2 \). Мы можем выделить общий множитель \( (b — 1) \) в обоих терминах, и он примет вид:

\( ab — a — 2b + 2 = a(b — 1) — 2(b — 1) = (b — 1)(a — 2) \).

Теперь дробь принимает вид:

\( \frac{(a — 2)(a^2 + 2a + 4)}{(b — 1)(a — 2)} \).

Теперь сокращаем на \( (a — 2) \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{(a — 2)(a^2 + 2a + 4)}{(b — 1)(a — 2)} = \frac{a^2 + 2a + 4}{b — 1} \).

Итак, окончательное упрощение: \( \frac{a^2 + 2a + 4}{b — 1} \).

3) \( \frac{a^3 + 2a^2b + ab^2}{a^3 — ab^2} \)

В числителе у нас выражение \( a^3 + 2a^2b + ab^2 \), которое можно вынести общий множитель \( a \):

\( a^3 + 2a^2b + ab^2 = a(a^2 + 2ab + b^2) \).

Теперь рассмотрим знаменатель: \( a^3 — ab^2 \), также можем вынести общий множитель \( a \):

\( a^3 — ab^2 = a(a^2 — b^2) \).

Теперь дробь принимает вид:

\( \frac{a(a^2 + 2ab + b^2)}{a(a^2 — b^2)} \).

Теперь сокращаем на \( a \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{a(a^2 + 2ab + b^2)}{a(a^2 — b^2)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 — b^2} \).

В знаменателе \( a^2 — b^2 \) является разностью квадратов, и мы можем разложить её:

\( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \).

Теперь дробь принимает вид:

\( \frac{a^2 + 2ab + b^2}{(a — b)(a + b)} \).

В числителе у нас выражение \( a^2 + 2ab + b^2 \), которое является полным квадратом:

\( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \).

Теперь дробь принимает вид:

\( \frac{(a + b)^2}{(a — b)(a + b)} \).

Теперь сокращаем на \( (a + b) \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{(a + b)^2}{(a — b)(a + b)} = \frac{a + b}{a — b} \).

Итак, окончательное упрощение: \( \frac{a + b}{a — b} \).