ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 36.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде дроби выражение:

1) \( \frac{x^2 — 16x + 2x + 49}{(x — 7)^4 + (7 — x)^4} \)

2) \( \frac{a^3}{(a — 2b)^3} + \frac{8b^3}{(2b — a)^3}  \)

3) \( \frac{y^2 + y}{(y — 6)(y + 2)} + \frac{y + 36}{(6 — y)(2 + y)} \)

4) \( \frac{2 — b^2}{(b — 5)^6} — \frac{7 — 3b}{(b — 5)^6} + \frac{7b — 20}{(b — 5)^6}  \)

1) \( \frac{x^2 — 16x + 2x + 49}{(x — 7)^4 + (7 — x)^4} = \frac{x^2 — 16x + 2x + 49}{(x — 7)^4} = \frac{x^2 — 14x + 49}{(x — 7)^4} = \)

\( = \frac{(x — 7)^2}{(x — 7)^4} = \frac{1}{(x — 7)^2}; \)

2) \( \frac{a^3}{(a — 2b)^3} + \frac{8b^3}{(2b — a)^3} = \frac{a^3}{(a — 2b)^3} — \frac{8b^3}{(a — 2b)^3} = \frac{a^3 — 8b^3}{(a — 2b)^3} = \)

\( = \frac{(a — 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)}{(a — 2b)^3} = \frac{a^2 + 2ab + 4b^2}{(a — 2b)^2}; \)

3) \( \frac{y^2 + y}{(y — 6)(y + 2)} + \frac{y + 36}{(6 — y)(2 + y)} = \frac{y^2 + y}{(y — 6)(y + 2)} — \frac{y + 36}{(y — 6)(y + 2)} = \)

\( = \frac{y^2 + y — (y + 36)}{(y — 6)(y + 2)} = \frac{y^2 + y — y — 36}{(y — 6)(y + 2)} = \frac{y^2 — 36}{(y — 6)(y + 2)} = \)

\( = \frac{(y — 6)(y + 6)}{(y — 6)(y + 2)} = \frac{y + 6}{y + 2}; \)

4) \( \frac{2 — b^2}{(b — 5)^6} — \frac{7 — 3b}{(b — 5)^6} + \frac{7b — 20}{(b — 5)^6} = \frac{2 — b^2 — (7 — 3b) + 7b — 20}{(b — 5)^6} = \)

\( = \frac{2 — b^2 — 7 + 3b + 7b — 20}{(b — 5)^6} = \frac{-b^2 + 10b — 25}{(b — 5)^6} = \frac{-(b^2 — 10b + 25)}{(b — 5)^6} = \)

\( = \frac{-(b — 5)^2}{(b — 5)^6} = \frac{-1}{(b — 5)^4} = -\frac{1}{(b — 5)^4}.\)

1) Представим выражение в виде дроби: \( \frac{x^2 — 16x + 2x + 49}{(x — 7)^4 + (7 — x)^4}. \)

Преобразуем знаменатель, заметив, что \( (7 — x) = -(x — 7) \), следовательно:

\( (7 — x)^4 = (-(x — 7))^4 = (x — 7)^4. \)

Таким образом, выражение в знаменателе становится:

\( = \frac{x^2 — 16x + 2x + 49}{(x — 7)^4 + (x — 7)^4} = \frac{x^2 — 16x + 2x + 49}{2(x — 7)^4}. \)

Теперь упростим числитель, собрав подобные слагаемые:

\( = \frac{x^2 — 14x + 49}{2(x — 7)^4}. \)

Числитель можно представить как полный квадрат:

\( = \frac{(x — 7)^2}{2(x — 7)^4}. \)

Теперь сокращаем \( (x — 7)^2 \) в числителе и знаменателе:

\( = \frac{1}{2(x — 7)^2}. \)

Ответ: \( \frac{1}{2(x — 7)^2}. \)

2) Представим выражение в виде дроби: \( \frac{a^3}{(a — 2b)^3} + \frac{8b^3}{(2b — a)^3}. \)

Преобразуем второй знаменатель, учитывая, что \( (2b — a) = -(a — 2b) \), и выражение примет вид:

\( = \frac{a^3}{(a — 2b)^3} — \frac{8b^3}{(a — 2b)^3}. \)

Теперь объединяем дроби, так как знаменатели одинаковые:

\( = \frac{a^3 — 8b^3}{(a — 2b)^3}. \)

Распишем числитель как разность кубов:

\( = \frac{(a — 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)}{(a — 2b)^3}. \)

Теперь сокращаем \( (a — 2b) \) в числителе и знаменателе:

\( = \frac{a^2 + 2ab + 4b^2}{(a — 2b)^2}. \)

Ответ: \( \frac{a^2 + 2ab + 4b^2}{(a — 2b)^2}. \)

3) Представим выражение в виде дроби: \( \frac{y^2 + y}{(y — 6)(y + 2)} + \frac{y + 36}{(6 — y)(2 + y)}. \)

Преобразуем второй знаменатель, учитывая, что \( (6 — y) = -(y — 6) \), так что выражение примет вид:

\( = \frac{y^2 + y}{(y — 6)(y + 2)} — \frac{y + 36}{(y — 6)(y + 2)}. \)

Теперь объединяем дроби, так как знаменатели одинаковые:

\( = \frac{y^2 + y — (y + 36)}{(y — 6)(y + 2)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( = \frac{y^2 + y — y — 36}{(y — 6)(y + 2)} = \frac{y^2 — 36}{(y — 6)(y + 2)}. \)

Числитель можно представить как разность квадратов:

\( = \frac{(y — 6)(y + 6)}{(y — 6)(y + 2)}. \)

Теперь сокращаем \( (y — 6) \) в числителе и знаменателе:

\( = \frac{y + 6}{y + 2}. \)

Ответ: \( \frac{y + 6}{y + 2}. \)

4) Представим выражение в виде дроби: \( \frac{2 — b^2}{(b — 5)^6} — \frac{7 — 3b}{(b — 5)^6} + \frac{7b — 20}{(b — 5)^6}. \)

Объединяем все дроби в одну, так как знаменатели одинаковые:

\( = \frac{2 — b^2 — (7 — 3b) + 7b — 20}{(b — 5)^6}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( = \frac{2 — b^2 — 7 + 3b + 7b — 20}{(b — 5)^6} = \frac{-b^2 + 10b — 25}{(b — 5)^6}. \)

Числитель можно представить как полный квадрат:

\( = \frac{-(b^2 — 10b + 25)}{(b — 5)^6} = \frac{-(b — 5)^2}{(b — 5)^6}. \)

Теперь сокращаем \( (b — 5)^2 \) в числителе и знаменателе:

\( = \frac{-1}{(b — 5)^4}. \)

Ответ: \( -\frac{1}{(b — 5)^4}. \)