ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 36.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение \( \frac{a^2 — 6}{(a — 2)^4} — \frac{7a — 4}{(a — 2)^4} + \frac{3a + 6}{(a — 2)^4} \) принимает положительные значения.

\( \frac{a^2 — 6}{(a — 2)^4} — \frac{7a — 4}{(a — 2)^4} + \frac{3a + 6}{(a — 2)^4} = \frac{a^2 — 6 — (7a — 4) + 3a + 6}{(a — 2)^4} = \)

\( = \frac{a^2 — 6 — 7a + 4 + 3a + 6}{(a — 2)^4} = \frac{a^2 — 4a + 4}{(a — 2)^4} = \frac{(a — 2)^2}{(a — 2)^4} = \frac{1}{(a — 2)^2} > 0 \)

\( \Longrightarrow \) при всех допустимых значениях переменной выражение
принимает положительные значения, так как \( (a — 2)^2 > 0 \) и \( 1 > 0 \).

Что и требовалось доказать.

Докажем, что при всех допустимых значениях переменной \( a \) выражение \( \frac{a^2 — 6}{(a — 2)^4} — \frac{7a — 4}{(a — 2)^4} + \frac{3a + 6}{(a — 2)^4} \) принимает положительные значения.

1) Объединим дроби, так как знаменатели одинаковые:

\( \frac{a^2 — 6}{(a — 2)^4} — \frac{7a — 4}{(a — 2)^4} + \frac{3a + 6}{(a — 2)^4} = \frac{(a^2 — 6) — (7a — 4) + (3a + 6)}{(a — 2)^4}. \)

2) Раскроем скобки в числителе:

\( = \frac{a^2 — 6 — 7a + 4 + 3a + 6}{(a — 2)^4}. \)

3) Упростим числитель, собрав подобные слагаемые:

\( = \frac{a^2 — 4a + 4}{(a — 2)^4}. \)

4) Числитель можно записать как полный квадрат:

\( = \frac{(a — 2)^2}{(a — 2)^4}. \)

5) Сократим \( (a — 2)^2 \) в числителе и знаменателе:

\( = \frac{1}{(a — 2)^2}. \)

6) Мы видим, что выражение равно \( \frac{1}{(a — 2)^2} \), а так как квадрат любого числа всегда положителен, то \( (a — 2)^2 > 0 \), следовательно, \( \frac{1}{(a — 2)^2} > 0 \) при всех допустимых значениях \( a \), кроме \( a = 2 \), где выражение не определено.

Таким образом, выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях переменной \( a \), что и требовалось доказать.