ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 36.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения является целым числом:

1) \( \frac{n + 6}{n} \)

2) \( \frac{3n^2 — 4n — 14}{n} \)

3) \( \frac{4n + 7}{2n — 3}\)

1) \( \frac{n + 6}{n} = \frac{n}{n} + \frac{6}{n} = 1 + \frac{6}{n}. \)

Значение данного выражения является целым числом, если
\( n \) — натуральный делитель числа 6. Тогда, \( n = \{1; 2; 3; 6\} \).

Ответ: при \( n = \{1; 2; 3; 6\} \).

2) \( \frac{3n^2 — 4n — 14}{n} = \frac{3n^2}{n} — \frac{4n}{n} — \frac{14}{n} = 3n — 4 — \frac{14}{n}. \)

Значение данного выражения является целым числом, если
\( n \) — натуральный делитель числа 14. Тогда, \( n = \{1; 2; 7; 14\} \).

Ответ: при \( n = \{1; 2; 7; 14\} \).

3) \( \frac{4n + 7}{2n — 3} = \frac{4n — 6 + 13}{2n — 3} = \frac{4n — 6}{2n — 3} + \frac{13}{2n — 3} = \frac{2(2n — 3)}{2n — 3} + \frac{13}{2n — 3} = \)

\( = 2 + \frac{13}{2n — 3}. \)

Значение данного выражения является целым числом, если
\( (2n — 3) \) — делитель числа 13. Так как число 13 имеет
делители \((-1), 1, (-13)\) и \( 13 \), то:

\(
\begin{aligned}
2n — 3 &= 1, &\quad 2n — 3 &= 13, &\quad 2n — 3 &= -1, \\
2n &= 4, &\quad 2n &= 16, &\quad 2n &= 2, \\
n &= 2, &\quad n &= 8, &\quad n &= 1,
\end{aligned}
\)

\(
\begin{aligned}
2n — 3 &= -13 \\
2n &= -10 \\
n &= -5.
\end{aligned}
\)

Но, \( n = -5 \) не подходит, так как \( n \in \mathbb{N} \).
Тогда, \( n = \{1; 2; 8\} \).

Ответ: при \( n = \{1; 2; 8\} \).

Найдем все натуральные значения \( n \), при которых значение выражения является целым числом:

1) Найдем \( \frac{n + 6}{n}. \)

1.1) Разделим числитель на два слагаемых:

\( \frac{n + 6}{n} = \frac{n}{n} + \frac{6}{n}. \)

1.2) Упростим первую дробь, так как \( \frac{n}{n} = 1 \):

\( = 1 + \frac{6}{n}. \)

1.3) Чтобы выражение было целым числом, \( \frac{6}{n} \) должно быть целым числом. Это возможно, если \( n \) — делитель числа 6. Натуральные делители числа 6: \( n = \{1, 2, 3, 6\} \).

Ответ: \( n = \{1, 2, 3, 6\} \).

2) Найдем \( \frac{3n^2 — 4n — 14}{n}. \)

2.1) Разделим числитель на два слагаемых:

\( \frac{3n^2 — 4n — 14}{n} = \frac{3n^2}{n} — \frac{4n}{n} — \frac{14}{n}. \)

2.2) Упростим каждую дробь:

\( = 3n — 4 — \frac{14}{n}. \)

2.3) Чтобы выражение было целым числом, \( \frac{14}{n} \) должно быть целым числом. Это возможно, если \( n \) — делитель числа 14. Натуральные делители числа 14: \( n = \{1, 2, 7, 14\} \).

Ответ: \( n = \{1, 2, 7, 14\} \).

3) Найдем \( \frac{4n + 7}{2n — 3}. \)

3.1) Разделим числитель на два слагаемых:

\( \frac{4n + 7}{2n — 3} = \frac{4n — 6 + 13}{2n — 3} = \frac{4n — 6}{2n — 3} + \frac{13}{2n — 3}. \)

3.2) Выразим первую дробь \( \frac{4n — 6}{2n — 3} \) через общий множитель:

\( = \frac{2(2n — 3)}{2n — 3} + \frac{13}{2n — 3}. \)

3.3) Сократим \( (2n — 3) \) в числителе и знаменателе первой дроби:

\( = 2 + \frac{13}{2n — 3}. \)

3.4) Чтобы выражение было целым числом, \( \frac{13}{2n — 3} \) должно быть целым числом. Это возможно, если \( 2n — 3 \) — делитель числа 13. Делители числа 13: \( \pm 1, \pm 13 \). Рассмотрим все возможные случаи:

3.4.1) \( 2n — 3 = 1 \), тогда \( 2n = 4 \), и \( n = 2 \).

3.4.2) \( 2n — 3 = 13 \), тогда \( 2n = 16 \), и \( n = 8 \).

3.4.3) \( 2n — 3 = -1 \), тогда \( 2n = 2 \), и \( n = 1 \).

3.4.4) \( 2n — 3 = -13 \), тогда \( 2n = -10 \), и \( n = -5 \), но это значение не подходит, так как \( n \) должно быть натуральным числом.

Ответ: \( n = \{1, 2, 8\} \).