ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 36.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения является целым числом:

1) \( \frac{8n — 9}{n}\)

2) \( \frac{n^2 + 2n — 8}{n}\)

3) \( \frac{9n — 4}{3n — 5}\)

1) \( \frac{8n — 9}{n} = \frac{8n}{n} — \frac{9}{n} = 8 — \frac{9}{n}. \)

Значение данного выражения является целым числом, если
\( n \) — натуральный делитель числа 9. Тогда, \( n = \{1; 3; 9\} \).

Ответ: при \( n = \{1; 3; 9\} \).

2) \( \frac{n^2 + 2n — 8}{n} = \frac{n^2}{n} + \frac{2n}{n} — \frac{8}{n} = n + 2 — \frac{8}{n}. \)

Значение данного выражения является целым числом, если
\( n \) — натуральный делитель числа 8. Тогда, \( n = \{1; 2; 4; 8\} \).

Ответ: при \( n = \{1; 2; 4; 8\} \).

3) \( \frac{9n — 4}{3n — 5} = \frac{9n — 15 + 11}{3n — 5} = \frac{9n — 15}{3n — 5} + \frac{11}{3n — 5} = \frac{3(3n — 5)}{3n — 5} + \frac{11}{3n — 5} = \)

\( = 3 + \frac{11}{3n — 5}. \)

Значение данного выражения является целым числом, если
\( (3n — 5) \) — делитель числа 11. Так как число 11 имеет
делители \( (-1), 1, (-11) \) и \( 11 \), то:

\(
\begin{aligned}
3n — 5 &= 1, &\quad 3n — 5 &= 11, &\quad 3n — 5 &= -1, \\
3n &= 6, &\quad 3n &= 16, &\quad 3n &= 4,  \\
n &= 2, &\quad n &= \frac{16}{3}, &\quad n &= \frac{4}{3},
\end{aligned}
\)

\(
\begin{aligned}
3n — 5 &= -11 \\
n &= -6 \\
n &= -2.
\end{aligned}
\)

Но, \( n = \frac{16}{3}, n = \frac{4}{3}, n = -2 \) не подходят, так как \( n \in \mathbb{N} \).
Тогда, \( n = \{2\} \).

Ответ: при \( n = \{2\} \).

Найдем все натуральные значения \( n \), при которых значение выражения является целым числом:

1) Найдем \( \frac{8n — 9}{n}. \)

1.1) Разделим числитель на два слагаемых:

\( \frac{8n — 9}{n} = \frac{8n}{n} — \frac{9}{n}. \)

1.2) Упростим первую дробь, так как \( \frac{8n}{n} = 8 \):

\( = 8 — \frac{9}{n}. \)

1.3) Чтобы выражение было целым числом, \( \frac{9}{n} \) должно быть целым числом. Это возможно, если \( n \) — натуральный делитель числа 9. Натуральные делители числа 9: \( n = \{1, 3, 9\} \).

Ответ: \( n = \{1, 3, 9\} \).

2) Найдем \( \frac{n^2 + 2n — 8}{n}. \)

2.1) Разделим числитель на два слагаемых:

\( \frac{n^2 + 2n — 8}{n} = \frac{n^2}{n} + \frac{2n}{n} — \frac{8}{n}. \)

2.2) Упростим каждую дробь:

\( = n + 2 — \frac{8}{n}. \)

2.3) Чтобы выражение было целым числом, \( \frac{8}{n} \) должно быть целым числом. Это возможно, если \( n \) — натуральный делитель числа 8. Натуральные делители числа 8: \( n = \{1, 2, 4, 8\} \).

Ответ: \( n = \{1, 2, 4, 8\} \).

3) Найдем \( \frac{9n — 4}{3n — 5}. \)

3.1) Разделим числитель на два слагаемых:

\( \frac{9n — 4}{3n — 5} = \frac{9n — 15 + 11}{3n — 5} = \frac{9n — 15}{3n — 5} + \frac{11}{3n — 5}. \)

3.2) Разделим первую дробь на общий множитель:

\( = \frac{3(3n — 5)}{3n — 5} + \frac{11}{3n — 5}. \)

3.3) Сократим \( (3n — 5) \) в числителе и знаменателе первой дроби:

\( = 3 + \frac{11}{3n — 5}. \)

3.4) Чтобы выражение было целым числом, \( \frac{11}{3n — 5} \) должно быть целым числом. Это возможно, если \( 3n — 5 \) — делитель числа 11. Делители числа 11: \( \pm 1, \pm 11 \). Рассмотрим все возможные случаи:

3.4.1) \( 3n — 5 = 1 \), тогда \( 3n = 6 \), и \( n = 2 \).

3.4.2) \( 3n — 5 = 11 \), тогда \( 3n = 16 \), и \( n = \frac{16}{3} \), что не является натуральным числом.

3.4.3) \( 3n — 5 = -1 \), тогда \( 3n = 4 \), и \( n = \frac{4}{3} \), что не является натуральным числом.

3.4.4) \( 3n — 5 = -11 \), тогда \( 3n = -6 \), и \( n = -2 \), что не является натуральным числом.

Ответ: \( n = \{2\} \).