ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 36.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном значении n значение дроби не является целым числом:

1) \( \frac{n^2 + n + 1}{n + 1} \)

2) \( \frac{n^3 — 2n^2 + n — 1}{n^2 + 1} \)

1) \( \frac{n^2 + n + 1}{n + 1} = \frac{n^2 + n}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} = \frac{n(n + 1)}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} = n + \frac{1}{n + 1}. \)

Значение данного выражения является целым числом, если
\( (n + 1) \) — делитель числа 1. Так как число 1 имеет
делители \( (-1) \) и \( 1 \), то:

\(
\begin{aligned}
n + 1 &= -1, &\quad n + 1 &= 1 \\
n &= -2 &\quad n &= 0.
\end{aligned}
\)

Но, \( n = -2 \) и \( n = 0 \) не подходят, так как \( n \in \mathbb{N} \).
Следовательно, при любом натуральном значении \( n \) значение
дроби не является целым числом.
Что и требовалось доказать.

2) \( \frac{n^3 — 2n^2 + n — 1}{n^2 + 1} = \frac{(n^3 + n) — (2n^2 + 1)}{n^2 + 1} = \frac{n(n^2 + 1)}{n^2 + 1} — \frac{2n^2 + 1}{n^2 + 1} = \)

\( = n — \frac{2n^2 + 2 — 1}{n^2 + 1} = n — \frac{2(n^2 + 1)}{n^2 + 1} — \frac{1}{n^2 + 1} = n — 2 — \frac{1}{n^2 + 1}. \)

Значение данного выражения является целым числом, если
\( (n^2 + 1) \) — делитель числа 1. Так как число 1 имеет
делители \( (-1) \) и \( 1 \), то:

\(
\begin{aligned}
n^2 + 1 &= -1, &\quad n^2 + 1 &= 1 \\
n^2 &= -2 &\quad n^2 &= 0 \\
&\text{решений нет} &\quad n &= 0.
\end{aligned}
\)

Но, \( n = 0 \) не подходит, так как \( n \in \mathbb{N} \).
Следовательно, при любом натуральном значении \( n \) значение
дроби не является целым числом.
Что и требовалось доказать.

Докажем, что при любом натуральном значении \( n \) значение дроби не является целым числом:

1) Рассмотрим выражение \( \frac{n^2 + n + 1}{n + 1} \).

1.1) Мы можем разделить числитель на два слагаемых, разделив его на \( n \) и \( 1 \):

\( \frac{n^2 + n + 1}{n + 1} = \frac{n^2 + n}{n + 1} + \frac{1}{n + 1}. \)

1.2) Теперь разделим первую дробь \( \frac{n^2 + n}{n + 1} \) на множители. Мы можем вынести \( n \) за скобки в числителе:

\( = \frac{n(n + 1)}{n + 1} + \frac{1}{n + 1}. \)

1.3) Сократим \( (n + 1) \) в числителе и знаменателе первой дроби, так как \( \frac{n(n + 1)}{n + 1} = n \):

\( = n + \frac{1}{n + 1}. \)

1.4) Чтобы выражение было целым числом, дробь \( \frac{1}{n + 1} \) должна быть целым числом. Однако дробь \( \frac{1}{n + 1} \) будет целым числом только в случае, если \( n + 1 = 1 \), что означает \( n = 0 \). Однако, \( n = 0 \) не является натуральным числом, так как натуральные числа начинаются с 1. Поэтому для любых натуральных чисел \( n \), дробь \( \frac{1}{n + 1} \) всегда будет дробной, и следовательно, выражение не будет целым числом.

Ответ: При любом натуральном значении \( n \) выражение \( \frac{n^2 + n + 1}{n + 1} \) не является целым числом.

2) Рассмотрим выражение \( \frac{n^3 — 2n^2 + n — 1}{n^2 + 1} \).

2.1) Разделим числитель на несколько дробей, чтобы упростить его:

\( \frac{n^3 — 2n^2 + n — 1}{n^2 + 1} = \frac{n^3}{n^2 + 1} — \frac{2n^2}{n^2 + 1} + \frac{n}{n^2 + 1} — \frac{1}{n^2 + 1}. \)

2.2) Рассмотрим каждую из дробей по отдельности. Первая дробь \( \frac{n^3}{n^2 + 1} \) не может быть целым числом. Объяснение: числитель \( n^3 \) всегда больше знаменателя \( n^2 + 1 \), и результат всегда будет дробным. Таким образом, эта дробь не может быть целым числом для любого натурального значения \( n \).

2.3) Аналогично, вторая дробь \( \frac{2n^2}{n^2 + 1} \) также не может быть целым числом, так как числитель \( 2n^2 \) не делится на \( n^2 + 1 \) без остатка. То же самое касается и дробей \( \frac{n}{n^2 + 1} \) и \( \frac{1}{n^2 + 1} \), так как их числители всегда меньше знаменателей, и эти дроби не могут быть целыми числами при любом натуральном \( n \).

2.4) Таким образом, сумма этих дробей не может быть целым числом, так как все составляющие части дают дробные значения.

Ответ: При любом натуральном значении \( n \) выражение \( \frac{n^3 — 2n^2 + n — 1}{n^2 + 1} \) не является целым числом.