ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 36.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких целых значениях n значение дроби является целым числом:

1) \( \frac{2n^2 + 7n — 4}{n + 3} \)

2) \( \frac{4n^2 — 11n + 23}{n — 2} \)

1) \( \frac{2n^2 + 7n — 4}{n + 3} = \frac{2n^2 + 6n + n — 4}{n + 3} = \frac{2n(n + 3)}{n + 3} + \frac{n — 4}{n + 3} = \)

\( = 2n + \frac{n + 3 — 7}{n + 3} = 2n + \frac{n + 3}{n + 3} — \frac{7}{n + 3} = 2n + 1 — \frac{7}{n + 3}. \)

Значение данного выражения является целым числом, если
\( (n + 3) \) — делитель числа 7. Так как число 7 имеет
делители \( (-1), 1, (-7) \) и \( 7 \), то:

\(
\begin{aligned}
n + 3 &= -1, &\quad n + 3 &= 1, &\quad n + 3 &= -7, &\quad n + 3 &= 7 \\
n &= -4 &\quad n &= -2 &\quad n &= -10 &\quad n &= 4.
\end{aligned}
\)

По условию \( n \in \mathbb{Z} \), значит, все полученные значения \( n \) подходят.
Тогда, \( n = \{-10; -4; -2; 4\} \).
Ответ: при \( n = \{-10; -4; -2; 4\} \).

2) \( \frac{4n^2 — 11n + 23}{n — 2} = \frac{4n^2 — 8n — 3n + 23}{n — 2} = \frac{4n(n — 2) — (3n — 23)}{n — 2} = \)

\( = \frac{4n(n — 2)}{n — 2} — \frac{3n — 23}{n — 2} = 4n — \frac{3n — 6 — 17}{n — 2} = 4n — \frac{3(n — 2)}{n — 2} — \frac{17}{n — 2} = \)

\( = 4n — 3 — \frac{17}{n — 2}. \)

Значение данного выражения является целым числом, если
\( (n — 2) \) — делитель числа 17. Так как число 17 имеет
делители \( (-1), 1, (-17) \) и \( 17 \), то:

\(
\begin{aligned}
n — 2 &= -1, &\quad n — 2 &= 1, &\quad n — 2 &= -17, &\quad n — 2 &= 17 \\
n &= 1 &\quad n &= 3 &\quad n &= -15 &\quad n &= 19.
\end{aligned}
\)

По условию \( n \in \mathbb{Z} \), значит, все полученные значения \( n \) подходят.
Тогда, \( n = \{-15; 1; 3; 19\} \).
Ответ: при \( n = \{-15; 1; 3; 19\} \).

Найдем при каких целых значениях \( n \) значение дроби является целым числом:

1) Рассмотрим выражение \( \frac{2n^2 + 7n — 4}{n + 3}. \)

1.1) Разделим числитель на два слагаемых:

\( \frac{2n^2 + 7n — 4}{n + 3} = \frac{2n^2 + 6n + n — 4}{n + 3}. \)

1.2) Теперь разделим на множители, чтобы выделить общий множитель \( n + 3 \) в числителе:

\( = \frac{2n(n + 3)}{n + 3} + \frac{n — 4}{n + 3}. \)

1.3) Сократим \( (n + 3) \) в первой дроби, так как \( \frac{2n(n + 3)}{n + 3} = 2n \):

\( = 2n + \frac{n — 4}{n + 3}. \)

1.4) Чтобы выражение было целым числом, дробь \( \frac{n — 4}{n + 3} \) должна быть целым числом. Это возможно, если \( n + 3 \) делит число \( n — 4 \). Рассмотрим, что означает это условие:

1.4.1) Для того чтобы \( n + 3 \) делило \( n — 4 \), выразим \( n — 4 \) через \( n + 3 \):

\( n — 4 = (n + 3) — 7. \)

1.4.2) Таким образом, дробь \( \frac{n — 4}{n + 3} \) будет целым числом только в случае, если разность \( -7 \) делится на \( n + 3 \). Следовательно, \( n + 3 \) должно быть делителем числа \( -7 \). Натуральные делители числа \( -7 \) это \( \pm 1 \) и \( \pm 7 \).

1.4.3) Подставляем возможные значения \( n + 3 \):

\( n + 3 = 1 \quad \text{или} \quad n + 3 = -1 \quad \text{или} \quad n + 3 = 7 \quad \text{или} \quad n + 3 = -7. \)

1.4.4) Решения для \( n \):

\( n + 3 = 1 \quad \Rightarrow \quad n = -2, \)

\( n + 3 = -1 \quad \Rightarrow \quad n = -4, \)

\( n + 3 = 7 \quad \Rightarrow \quad n = 4, \)

\( n + 3 = -7 \quad \Rightarrow \quad n = -10. \)

Ответ: при \( n = \{-10; -4; -2; 4\} \) выражение \( \frac{2n^2 + 7n — 4}{n + 3} \) является целым числом.

2) Рассмотрим выражение \( \frac{4n^2 — 11n + 23}{n — 2}. \)

2.1) Разделим числитель на два слагаемых:

\( \frac{4n^2 — 11n + 23}{n — 2} = \frac{4n^2 — 8n — 3n + 23}{n — 2}. \)

2.2) Разделим числитель на два множителя, чтобы выделить общий множитель \( n — 2 \):

\( = \frac{4n(n — 2) — (3n — 23)}{n — 2}. \)

2.3) Сократим \( (n — 2) \) в первой дроби, так как \( \frac{4n(n — 2)}{n — 2} = 4n \):

\( = 4n — \frac{3n — 23}{n — 2}. \)

2.4) Чтобы выражение было целым числом, дробь \( \frac{3n — 23}{n — 2} \) должна быть целым числом. Это возможно, если \( n — 2 \) делит \( 3n — 23 \). Рассмотрим, что это значит:

2.4.1) Для того чтобы \( n — 2 \) делило \( 3n — 23 \), выразим \( 3n — 23 \) через \( n — 2 \):

\( 3n — 23 = 3(n — 2) + 1. \)

2.4.2) Таким образом, дробь \( \frac{3n — 23}{n — 2} \) будет целым числом только в случае, если остаток от деления \( 1 \) делится на \( n — 2 \). Это возможно только в случае, если \( n — 2 = 1 \) или \( n — 2 = -1 \).

2.4.3) Подставляем возможные значения \( n — 2 \):

\( n — 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad n = 3, \)

\( n — 2 = -1 \quad \Rightarrow \quad n = 1. \)

\( n — 2 = -17 \quad \Rightarrow \quad n = -15. \)

\( n — 2 = 17 \quad \Rightarrow \quad n = 19 \)

Ответ: при \( n = \{-15; 1; 3; 19\} \) выражение \( \frac{4n^2 — 11n + 23}{n — 2} \) является целым числом.