ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 36.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном значении n значение дроби является целым числом:

1) \( \frac{n^3 — 2n + 1}{n^2 + n — 1} \)

2) \( \frac{n^3 — 4n — 3}{n^2 — n — 3} \)

1) \( \frac{n^3 — 2n + 1}{n^2 + n — 1} = \frac{n^3 + n^2 — n — n^2 — n + 1}{n^2 + n — 1} = \)

\( = \frac{n(n^2 + n — 1) — (n^2 + n — 1)}{n^2 + n — 1} = \frac{n(n^2 + n — 1)}{n^2 + n — 1} — \frac{n^2 + n — 1}{n^2 + n — 1} = \)

\( = n — 1 \Longrightarrow \) при любом натуральном значении \( n \) значение дроби
является целым числом.
Что и требовалось доказать.

2) \( \frac{n^3 — 4n — 3}{n^2 — n — 3} = \frac{n^3 — n^2 — 3n + n^2 — n — 3}{n^2 — n — 3} = \)

\( = \frac{n(n^2 — n — 3) + (n^2 — n — 3)}{n^2 — n — 3} = \frac{n(n^2 — n — 3)}{n^2 — n — 3} + \frac{n^2 — n — 3}{n^2 — n — 3} = \)

\( = n + 1 \Longrightarrow \) при любом натуральном значении \( n \) значение дроби
является целым числом.
Что и требовалось доказать.

Докажем, что при любом натуральном значении \( n \) значение дроби является целым числом:

1) Рассмотрим выражение \( \frac{n^3 — 2n + 1}{n^2 + n — 1} \).

1.1) Разделим числитель на два слагаемых:

\( \frac{n^3 — 2n + 1}{n^2 + n — 1} = \frac{n^3 + n^2 — n — n^2 — n + 1}{n^2 + n — 1}. \)

1.2) Разделим на множители и выделим общий множитель \( n + 1 \):

\( = \frac{n(n^2 + n — 1) — (n^2 + n — 1)}{n^2 + n — 1}. \)

1.3) Разделим числитель на две части, первую из которых можно сократить с дробью:

\( = \frac{n(n^2 + n — 1)}{n^2 + n — 1} — \frac{n^2 + n — 1}{n^2 + n — 1}. \)

1.4) Сократим дроби, где числитель и знаменатель одинаковы:

\( = n — 1. \)

1.5) Таким образом, выражение \( \frac{n^3 — 2n + 1}{n^2 + n — 1} \) при любом натуральном значении \( n \) будет целым числом, так как результат равен \( n — 1 \), что всегда целое число при любом натуральном \( n \).

Ответ: \( \frac{n^3 — 2n + 1}{n^2 + n — 1} = n — 1 \), и значение выражения всегда будет целым числом для любого натурального \( n \).

2) Рассмотрим выражение \( \frac{n^3 — 4n — 3}{n^2 — n — 3} \).

2.1) Разделим числитель на два слагаемых:

\( \frac{n^3 — 4n — 3}{n^2 — n — 3} = \frac{n^3 — n^2 — 3n + n^2 — n — 3}{n^2 — n — 3}. \)

2.2) Разделим числитель на две части, выделив общий множитель \( n — 2 \) для первой части:

\( = \frac{n(n^2 — n — 3) + (n^2 — n — 3)}{n^2 — n — 3}. \)

2.3) Сократим дроби с одинаковыми множителями в числителе и знаменателе:

\( = \frac{n(n^2 — n — 3)}{n^2 — n — 3} + \frac{n^2 — n — 3}{n^2 — n — 3}. \)

2.4) Упростим выражение:

\( = n + 1. \)

2.5) Таким образом, выражение \( \frac{n^3 — 4n — 3}{n^2 — n — 3} \) при любом натуральном значении \( n \) также всегда будет целым числом, так как результат равен \( n + 1 \), что всегда целое число при любом натуральном \( n \).

Ответ: \( \frac{n^3 — 4n — 3}{n^2 — n — 3} = n + 1 \), и значение выражения всегда будет целым числом для любого натурального \( n \).