ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 36.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Числа a, b и c таковы, что значение выражения \(a + b + c\) и \(\frac{ab + bc + ac}{a + b + c}\) являются целыми числами. Докажите, что значение выражения \(\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c}\) также является целым числом.

Известно, что \((a + b + c)\) — целое число и \(\frac{ab + bc + ac}{a + b + c}\) — целое число. Тогда:

\(\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac — 2ab — 2bc — 2ac}{a + b + c} =\)

\(= \frac{(a + b + c)^2 — 2(ab + bc + ac)}{a + b + c} = \frac{(a + b + c)^2}{a + b + c} — \frac{2(ab + bc + ac)}{a + b + c} =\)

\(= (a + b + c) — 2 \cdot \frac{ab + bc + ac}{a + b + c}.\)

Следовательно, значение выражения \(\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c}\) является целым числом.

Что и требовалось доказать.

Нам дано, что числа \(a\), \(b\) и \(c\) таковы, что выражения \(a + b + c\) и \(\frac{ab + bc + ac}{a + b + c}\) являются целыми числами. Требуется доказать, что выражение \(\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c}\) также является целым числом.

Для начала представим выражение, которое мы должны доказать целым:

\(\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c}\).

Мы будем манипулировать этим выражением, преобразуя его, чтобы выразить его в виде, который позволяет нам использовать информацию, что \(a + b + c\) и \(\frac{ab + bc + ac}{a + b + c}\) являются целыми числами.

1) Раскроем числитель \(a^2 + b^2 + c^2\) через полный квадрат:

\(a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 — 2(ab + bc + ac)\),

где \((a + b + c)^2\) — это полный квадрат суммы, а \(-2(ab + bc + ac)\) — это дополнение к полному квадрату.

Таким образом, выражение можно переписать как:

\(\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c} = \frac{(a + b + c)^2 — 2(ab + bc + ac)}{a + b + c}\).

2) Теперь разделим числитель на два слагаемых:

\(\frac{(a + b + c)^2}{a + b + c} — \frac{2(ab + bc + ac)}{a + b + c}\).

Первое слагаемое упрощается так:

\(\frac{(a + b + c)^2}{a + b + c} = a + b + c,\)

так как \(a + b + c\) сокращается с квадратом \((a + b + c)\). Таким образом, это выражение равно \(a + b + c\).

Теперь второе слагаемое:

\(\frac{2(ab + bc + ac)}{a + b + c}.\)

Из условия задачи известно, что \(\frac{ab + bc + ac}{a + b + c}\) является целым числом. Обозначим его через \(k\), где \(k\) — целое число. Тогда:

\(\frac{2(ab + bc + ac)}{a + b + c} = 2k.\)

Теперь подставим все эти результаты в исходное выражение:

\(\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c} = (a + b + c) — 2k.\)

Мы видим, что выражение \(a + b + c\) — целое число (по условию задачи), а \(2k\) — целое число (так как \(k\) — целое число). Таким образом, разность двух целых чисел, а именно \(a + b + c — 2k\), является целым числом.

Следовательно, выражение \(\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c}\) также является целым числом, что и требовалось доказать.