ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 36.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{a^2}{a + 3} — \frac{9}{a + 3} \)

2) \( \frac{t}{t^2 — 16} — \frac{4}{t^2 — 16}  \)

3) \( \frac{m^2}{(m — 5)^2} — \frac{25}{(m — 5)^2} \)

4) \( \frac{b^2}{b + 10} + \frac{20b + 100}{b + 10} \)

1) \( \frac{a^2}{a + 3} — \frac{9}{a + 3} = \frac{a^2 — 9}{a + 3} = \frac{(a — 3)(a + 3)}{a + 3} = a — 3; \)

2) \( \frac{t}{t^2 — 16} — \frac{4}{t^2 — 16} = \frac{t — 4}{t^2 — 16} = \frac{t — 4}{(t — 4)(t + 4)} = \frac{1}{t + 4}; \)

3) \( \frac{m^2}{(m — 5)^2} — \frac{25}{(m — 5)^2} = \frac{m^2 — 25}{(m — 5)^2} = \frac{(m — 5)(m + 5)}{(m — 5)^2} = \frac{m + 5}{m — 5}; \)

4) \( \frac{b^2}{b + 10} + \frac{20b + 100}{b + 10} = \frac{b^2 + 20b + 100}{b + 10} = \frac{(b + 10)^2}{b + 10} = b + 10. \)

1) \( \frac{a^2}{a + 3} — \frac{9}{a + 3} \) — В данных дробях общий знаменатель \( a + 3 \), поэтому можно объединить их в одну дробь:

\( = \frac{a^2 — 9}{a + 3} \) — В числителе выполняем вычитание: \( a^2 — 9 \). Это разность квадратов, и мы можем разложить её на множители.

\( = \frac{(a — 3)(a + 3)}{a + 3} \) — Разлагаем \( a^2 — 9 \) как \( (a — 3)(a + 3) \), так как это разность квадратов: \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \).

\( = a — 3 \) — Сокращаем \( a + 3 \) в числителе и знаменателе, оставаясь с результатом \( a — 3 \).

Ответ: \( a — 3 \);

2) \( \frac{t}{t^2 — 16} — \frac{4}{t^2 — 16} \) — У этих дробей общий знаменатель \( t^2 — 16 \), поэтому можем объединить их в одну дробь:

\( = \frac{t — 4}{t^2 — 16} \) — Числители складываем с учетом знаков, получаем \( t — 4 \). В знаменателе \( t^2 — 16 \) — это разность квадратов, которую можно разложить:

\( = \frac{t — 4}{(t — 4)(t + 4)} \) — Разлагаем \( t^2 — 16 \) на множители, получаем \( (t — 4)(t + 4) \).

\( = \frac{1}{t + 4} \) — Сокращаем \( t — 4 \) в числителе и знаменателе, получая итоговую дробь \( \frac{1}{t + 4} \).

Ответ: \( \frac{1}{t + 4} \);

3) \( \frac{m^2}{(m — 5)^2} — \frac{25}{(m — 5)^2} \) — Общий знаменатель в обеих дробях \( (m — 5)^2 \), поэтому объединяем их в одну дробь:

\( = \frac{m^2 — 25}{(m — 5)^2} \) — В числителе выполняем вычитание: \( m^2 — 25 \). Это опять разность квадратов, которую можно разложить на множители:

\( = \frac{(m — 5)(m + 5)}{(m — 5)^2} \) — Разлагаем \( m^2 — 25 \) как \( (m — 5)(m + 5) \).

\( = \frac{m + 5}{m — 5} \) — Сокращаем \( (m — 5) \) в числителе и знаменателе, оставаясь с результатом \( \frac{m + 5}{m — 5} \).

Ответ: \( \frac{m + 5}{m — 5} \);

4) \( \frac{b^2}{b + 10} + \frac{20b + 100}{b + 10} \) — В этих дробях общий знаменатель \( b + 10 \), поэтому можно объединить их в одну дробь:

\( = \frac{b^2 + 20b + 100}{b + 10} \) — В числителе складываем: \( b^2 + 20b + 100 \), это квадрат двучлена.

\( = \frac{(b + 10)^2}{b + 10} \) — Числитель \( b^2 + 20b + 100 \) можно записать как \( (b + 10)^2 \), так как это полный квадрат.

\( = b + 10 \) — Сокращаем \( b + 10 \) в числителе и знаменателе, получая результат \( b + 10 \).

Ответ: \( b + 10 \);