ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 36.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{c^2}{c — 9} — \frac{81}{c — 9} \)

2) \( \frac{a^2}{(a — 6)^2} — \frac{36}{(a — 6)^2} \)

3) \( \frac{3x + 5}{x^2 — 4} — \frac{2x + 7}{x^2 — 4} \)

4) \( \frac{y^2}{y — 2} — \frac{4y — 4}{y — 2}  \)

1) \( \frac{c^2}{c — 9} — \frac{81}{c — 9} = \frac{c^2 — 81}{c — 9} = \frac{(c — 9)(c + 9)}{c — 9} = c + 9; \)

2) \( \frac{a^2}{(a — 6)^2} — \frac{36}{(a — 6)^2} = \frac{a^2 — 36}{(a — 6)^2} = \frac{(a — 6)(a + 6)}{(a — 6)^2} = \frac{a + 6}{a — 6}; \)

3) \( \frac{3x + 5}{x^2 — 4} — \frac{2x + 7}{x^2 — 4} = \frac{3x + 5 — (2x + 7)}{x^2 — 4} = \frac{3x + 5 — 2x — 7}{x^2 — 4} = \)
\( = \frac{x — 2}{(x — 2)(x + 2)} = \frac{1}{x + 2}; \)

4) \( \frac{y^2}{y — 2} — \frac{4y — 4}{y — 2} = \frac{y^2 — (4y — 4)}{y — 2} = \frac{y^2 — 4y + 4}{y — 2} = \frac{(y — 2)^2}{y — 2} = y — 2. \)

1) \( \frac{c^2}{c — 9} — \frac{81}{c — 9} \) — Обе дроби имеют одинаковый знаменатель \( c — 9 \), поэтому мы можем объединить их в одну дробь:

\( = \frac{c^2 — 81}{c — 9} \) — В числителе вычитаем \( 81 \) из \( c^2 \), получаем \( c^2 — 81 \). Это выражение является разностью квадратов, так как \( 81 = 9^2 \).

\( = \frac{(c — 9)(c + 9)}{c — 9} \) — Разлагаем \( c^2 — 81 \) на множители как \( (c — 9)(c + 9) \), используя формулу разности квадратов: \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \).

\( = c + 9 \) — Сокращаем \( c — 9 \) в числителе и знаменателе, оставаясь с результатом \( c + 9 \).

Ответ: \( c + 9 \);

2) \( \frac{a^2}{(a — 6)^2} — \frac{36}{(a — 6)^2} \) — В обеих дробях общий знаменатель \( (a — 6)^2 \), поэтому мы можем объединить их в одну дробь:

\( = \frac{a^2 — 36}{(a — 6)^2} \) — В числителе вычитаем \( 36 \) из \( a^2 \), получаем \( a^2 — 36 \). Это разность квадратов, так как \( 36 = 6^2 \).

\( = \frac{(a — 6)(a + 6)}{(a — 6)^2} \) — Разлагаем \( a^2 — 36 \) как \( (a — 6)(a + 6) \) с использованием формулы разности квадратов.

\( = \frac{a + 6}{a — 6} \) — Сокращаем \( a — 6 \) в числителе и знаменателе, получаем \( \frac{a + 6}{a — 6} \).

Ответ: \( \frac{a + 6}{a — 6} \);

3) \( \frac{3x + 5}{x^2 — 4} — \frac{2x + 7}{x^2 — 4} \) — Здесь общий знаменатель \( x^2 — 4 \), который можно разложить на множители:

\( = \frac{3x + 5 — (2x + 7)}{x^2 — 4} \) — В числителе выполняем вычитание: \( 3x + 5 \) минус \( 2x + 7 \). Раскроем скобки и получим \( 3x + 5 — 2x — 7 \).

\( = \frac{3x + 5 — 2x — 7}{x^2 — 4} \) — После упрощения числителя получаем \( x — 2 \).

\( = \frac{x — 2}{(x — 2)(x + 2)} \) — Разлагаем \( x^2 — 4 \) на множители как \( (x — 2)(x + 2) \), используя формулу разности квадратов.

\( = \frac{1}{x + 2} \) — Сокращаем \( x — 2 \) в числителе и знаменателе, и остаемся с результатом \( \frac{1}{x + 2} \).

Ответ: \( \frac{1}{x + 2} \);

4) \( \frac{y^2}{y — 2} — \frac{4y — 4}{y — 2} \) — Общий знаменатель у этих дробей \( y — 2 \), объединяем их в одну дробь:

\( = \frac{y^2 — (4y — 4)}{y — 2} \) — В числителе вычитаем \( 4y — 4 \) из \( y^2 \). Раскроем скобки, получаем \( y^2 — 4y + 4 \).

\( = \frac{y^2 — 4y + 4}{y — 2} \) — Теперь числитель представляет собой полный квадрат \( (y — 2)^2 \), так как \( y^2 — 4y + 4 = (y — 2)^2 \).

\( = \frac{(y — 2)^2}{y — 2} \) — Упрощаем дробь, сокращая \( y — 2 \) в числителе и знаменателе.

\( = y — 2 \) — После сокращения остаемся с результатом \( y — 2 \).

Ответ: \( y — 2 \);