ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 36.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выполните действия:

1) \( \frac{a + b}{c — 7} + \frac{a}{7 — c}  \)

2) \( \frac{2x — 4y}{x — 3y} — \frac{4x — 14y}{3y — x}  \)

3) \( \frac{81b^2}{9b — a} + \frac{a^2}{a — 9b}  \)

4) \( \frac{y^2}{y — 1} — \frac{1 — 2y}{1 — y} \)

1) \( \frac{a + b}{c — 7} + \frac{a}{7 — c} = \frac{a + b}{c — 7} — \frac{a}{c — 7} = \frac{a + b — a}{c — 7} = \frac{b}{c — 7}; \)

2) \( \frac{2x — 4y}{x — 3y} — \frac{4x — 14y}{3y — x} = \frac{2x — 4y}{x — 3y} + \frac{4x — 14y}{x — 3y} = \)
\( = \frac{2x — 4y + 4x — 14y}{x — 3y} = \frac{6x — 18y}{x — 3y} = \frac{6(x — 3y)}{x — 3y} = 6; \)

3) \( \frac{81b^2}{9b — a} + \frac{a^2}{a — 9b} = \frac{81b^2}{9b — a} — \frac{a^2}{9b — a} = \frac{81b^2 — a^2}{9b — a} = \)
\( = \frac{(9b — a)(9b + a)}{9b — a} = 9b + a; \)

4) \( \frac{y^2}{y — 1} — \frac{1 — 2y}{1 — y} = \frac{y^2}{y — 1} + \frac{1 — 2y}{y — 1} = \frac{y^2 + 1 — 2y}{y — 1} = \frac{(y — 1)^2}{y — 1} = y — 1.\)

1) \( \frac{a + b}{c — 7} + \frac{a}{7 — c} \) — У нас есть две дроби с разными знаменателями. Заметим, что \( 7 — c = -(c — 7) \), поэтому можно привести вторую дробь к общему знаменателю:

\( = \frac{a + b}{c — 7} — \frac{a}{c — 7} \) — Теперь обе дроби имеют общий знаменатель \( c — 7 \), поэтому можно объединить их:

\( = \frac{a + b — a}{c — 7} \) — В числителе вычитаем \( a \) из \( a \), получаем \( b \), так что числитель становится \( b \).

\( = \frac{b}{c — 7} \) — Получаем итоговое выражение \( \frac{b}{c — 7} \).

Ответ: \( \frac{b}{c — 7} \);

2) \( \frac{2x — 4y}{x — 3y} — \frac{4x — 14y}{3y — x} \) — Первое, что мы замечаем, это что второй знаменатель можно переписать как \( -(x — 3y) \), так что дроби можно привести к общему знаменателю:

\( = \frac{2x — 4y}{x — 3y} + \frac{4x — 14y}{x — 3y} \) — Теперь обе дроби имеют общий знаменатель \( x — 3y \), объединяем их в одну дробь:

\( = \frac{2x — 4y + 4x — 14y}{x — 3y} \) — Складываем числители: \( 2x + 4x = 6x \), \( -4y + (-14y) = -18y \), получаем \( 6x — 18y \).

\( = \frac{6x — 18y}{x — 3y} \) — Получаем числитель \( 6x — 18y \). Теперь можем вынести общий множитель \( 6 \) из числителя:

\( = \frac{6(x — 3y)}{x — 3y} \) — В числителе и знаменателе присутствует множитель \( x — 3y \), который можно сократить.

\( = 6 \) — Остается результат \( 6 \).

Ответ: \( 6 \);

3) \( \frac{81b^2}{9b — a} + \frac{a^2}{a — 9b} \) — Приводим обе дроби к общему знаменателю \( 9b — a \). Заметим, что \( a — 9b = -(9b — a) \), поэтому вторую дробь можно переписать с учетом минуса:

\( = \frac{81b^2}{9b — a} — \frac{a^2}{9b — a} \) — Теперь обе дроби имеют общий знаменатель, объединяем их:

\( = \frac{81b^2 — a^2}{9b — a} \) — В числителе получаем разность: \( 81b^2 — a^2 \), что является разностью квадратов, и её можно разложить на множители:

\( = \frac{(9b — a)(9b + a)}{9b — a} \) — Разлагаем числитель по формуле разности квадратов \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \).

\( = 9b + a \) — Сокращаем \( 9b — a \) в числителе и знаменателе, оставаясь с результатом \( 9b + a \).

Ответ: \( 9b + a \);

4) \( \frac{y^2}{y — 1} — \frac{1 — 2y}{1 — y} \) — Замечаем, что \( 1 — y = -(y — 1) \), поэтому вторую дробь можно переписать с учетом минуса:

\( = \frac{y^2}{y — 1} + \frac{1 — 2y}{y — 1} \) — Теперь обе дроби имеют общий знаменатель \( y — 1 \), объединяем их:

\( = \frac{y^2 + 1 — 2y}{y — 1} \) — Складываем числители: \( y^2 + 1 — 2y \). Упрощаем числитель: \( y^2 — 2y + 1 \), что является полным квадратом.

\( = \frac{(y — 1)^2}{y — 1} \) — Числитель представляет собой полный квадрат \( (y — 1)^2 \).

\( = y — 1 \) — Сокращаем \( y — 1 \) в числителе и знаменателе, получаем результат \( y — 1 \).

Ответ: \( y — 1 \);