ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 36.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( \frac{5x + 3}{x^2 — 16} + \frac{6x — 1}{16 — x^2} \) при \( x = -4{,}1 \)

2) \( \frac{a^2 + a}{a^2 — 9} — \frac{7a — 9}{a^2 — 9} \) при \( a = 7 \)

1) При \( x = -4{,}1 \);

\( \frac{5x + 3}{x^2 — 16} + \frac{6x — 1}{16 — x^2} = \frac{5x + 3}{x^2 — 16} — \frac{6x — 1}{x^2 — 16} = \frac{5x + 3 — (6x — 1)}{x^2 — 16} = \)

\( = \frac{5x + 3 — 6x + 1}{x^2 — 16} = \frac{-x + 4}{(x — 4)(x + 4)} = \frac{-(x — 4)}{(x — 4)(x + 4)} = \frac{-1}{x + 4} = \)

\( = \frac{-1}{-4{,}1 + 4} = \frac{-1}{-0{,}1} = 10. \)

2) При \( a = 7 \);

\( \frac{a^2 + a}{a^2 — 9} — \frac{7a — 9}{a^2 — 9} = \frac{a^2 + a — (7a — 9)}{a^2 — 9} = \frac{a^2 + a — 7a + 9}{a^2 — 9} = \)

\( = \frac{a^2 — 6a + 9}{a^2 — 9} = \frac{(a — 3)^2}{(a — 3)(a + 3)} = \frac{a — 3}{a + 3} = \frac{7 — 3}{7 + 3} = \frac{4}{10} = 0{,}4. \)

Ответ: 1) 10; 2) 0,4.

1) Найдите значение выражения:

\( \frac{5x + 3}{x^2 — 16} + \frac{6x — 1}{16 — x^2} \) при \( x = -4{,}1 \).

Рассмотрим выражение:

\( \frac{5x + 3}{x^2 — 16} + \frac{6x — 1}{16 — x^2} \). Обратите внимание, что знаменатели \( x^2 — 16 \) и \( 16 — x^2 \) равны по величине, но с противоположными знаками. Мы можем привести второй дробь к виду с таким же знаменателем, изменив знак:

\( \frac{5x + 3}{x^2 — 16} + \left( — \frac{6x — 1}{x^2 — 16} \right) = \frac{5x + 3}{x^2 — 16} — \frac{6x — 1}{x^2 — 16} \).

Теперь объединим дроби с одинаковыми знаменателями:

\( \frac{5x + 3 — (6x — 1)}{x^2 — 16} = \frac{5x + 3 — 6x + 1}{x^2 — 16} = \frac{-x + 4}{x^2 — 16} \).

Далее раскроем знаменатель \( x^2 — 16 \) как разность квадратов:

\( x^2 — 16 = (x — 4)(x + 4) \), следовательно, выражение примет вид:

\( \frac{-x + 4}{(x — 4)(x + 4)} \).

Теперь упростим числитель. Мы можем вынести минус за скобки:

\( \frac{-(x — 4)}{(x — 4)(x + 4)} \).

Сократим \( (x — 4) \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{-1}{x + 4} \).

Теперь подставим значение \( x = -4{,}1 \) в выражение:

\( \frac{-1}{-4{,}1 + 4} = \frac{-1}{-0{,}1} = 10. \)

Ответ: 10.

2) Найдите значение выражения:

\( \frac{a^2 + a}{a^2 — 9} — \frac{7a — 9}{a^2 — 9} \) при \( a = 7 \).

Рассмотрим выражение:

\( \frac{a^2 + a}{a^2 — 9} — \frac{7a — 9}{a^2 — 9} \). Поскольку знаменатели одинаковые, мы можем объединить дроби:

\( \frac{a^2 + a — (7a — 9)}{a^2 — 9} = \frac{a^2 + a — 7a + 9}{a^2 — 9} = \frac{a^2 — 6a + 9}{a^2 — 9} \).

Теперь заметим, что числитель \( a^2 — 6a + 9 \) является полным квадратом, так как \( a^2 — 6a + 9 = (a — 3)^2 \). Таким образом, выражение можно переписать как:

\( \frac{(a — 3)^2}{a^2 — 9} \).

Далее раскроем знаменатель \( a^2 — 9 \) как разность квадратов:

\( a^2 — 9 = (a — 3)(a + 3) \), и получаем:

\( \frac{(a — 3)^2}{(a — 3)(a + 3)} \).

Сократим \( (a — 3) \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{a — 3}{a + 3} \).

Теперь подставим значение \( a = 7 \) в выражение:

\( \frac{7 — 3}{7 + 3} = \frac{4}{10} = 0{,}4. \)

Ответ: 0,4.