ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 36.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{5n — 1}{20n} — \frac{7n — 8}{20n} — \frac{8n + 7}{20n}. \)

2) \( \frac{9m + 2}{m^2 — 4} — \frac{m — 9}{4 — m^2} + \frac{1 — 7m}{m^2 — 4}. \)

3) \( \frac{3k}{k^3 — 1} + \frac{4k + 1}{1 — k^3} + \frac{k^2}{1 — k^3}. \)

1) \( \frac{5n — 1}{20n} — \frac{7n — 8}{20n} — \frac{8n + 7}{20n} = \frac{5n — 1 — (7n — 8) — (8n + 7)}{20n} = \)

\( = \frac{5n — 1 — 7n + 8 — 8n — 7}{20n} = \frac{-10n}{20n} = -\frac{1}{2} = -0{,}5; \)

2) \( \frac{9m + 2}{m^2 — 4} — \frac{m — 9}{4 — m^2} + \frac{1 — 7m}{m^2 — 4} = \frac{9m + 2}{m^2 — 4} + \frac{m — 9}{m^2 — 4} + \frac{1 — 7m}{m^2 — 4} = \)

\( = \frac{9m + 2 + m — 9 + 1 — 7m}{m^2 — 4} = \frac{3m — 6}{m^2 — 4} = \frac{3(m — 2)}{(m — 2)(m + 2)} = \frac{3}{m + 2}; \)

3) \( \frac{3k}{k^3 — 1} + \frac{4k + 1}{1 — k^3} + \frac{k^2}{1 — k^3} = \frac{3k}{k^3 — 1} — \frac{4k + 1}{k^3 — 1} — \frac{k^2}{k^3 — 1} = \)

\( = \frac{3k — (4k + 1) — k^2}{k^3 — 1} = \frac{3k — 4k — 1 — k^2}{k^3 — 1} = \frac{-k^2 — k — 1}{k^3 — 1} = \)

\( = \frac{-(k^2 + k + 1)}{(k — 1)(k^2 + k + 1)} = \frac{-1}{k — 1} = \frac{1}{1 — k}.\)

1) Упростим выражение: \( \frac{5n — 1}{20n} — \frac{7n — 8}{20n} — \frac{8n + 7}{20n}. \)

Все три дроби имеют одинаковые знаменатели, поэтому мы можем объединить их в одну дробь, сложив числители:

\( \frac{5n — 1}{20n} — \frac{7n — 8}{20n} — \frac{8n + 7}{20n} = \frac{(5n — 1) — (7n — 8) — (8n + 7)}{20n}. \)

Теперь упростим числитель. Раскроем скобки и соберем подобные слагаемые:

\( = \frac{5n — 1 — 7n + 8 — 8n — 7}{20n} = \frac{-10n}{20n}. \)

Упростим дробь, сокращая на \(n\):

\( = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2} = -0{,}5. \)

Ответ: \( -0{,}5. \)

2) Упростим выражение: \( \frac{9m + 2}{m^2 — 4} — \frac{m — 9}{4 — m^2} + \frac{1 — 7m}{m^2 — 4}. \)

Заметим, что \( m^2 — 4 = (m — 2)(m + 2) \) и \( 4 — m^2 = -(m^2 — 4) = -(m — 2)(m + 2) \), то есть второй дробью можно заменить знак, и выражение примет вид:

\( = \frac{9m + 2}{m^2 — 4} + \frac{m — 9}{m^2 — 4} + \frac{1 — 7m}{m^2 — 4}. \)

Теперь, как и в предыдущем примере, сложим числители, так как знаменатели одинаковые:

\( = \frac{9m + 2 + m — 9 + 1 — 7m}{m^2 — 4} = \frac{3m — 6}{m^2 — 4}. \)

В числителе можно вынести общий множитель 3:

\( = \frac{3(m — 2)}{m^2 — 4}. \)

Знаменатель \( m^2 — 4 \) раскладывается как разность квадратов:

\( = \frac{3(m — 2)}{(m — 2)(m + 2)}. \)

Теперь можем сократить \( (m — 2) \) в числителе и знаменателе:

\( = \frac{3}{m + 2}. \)

Ответ: \( \frac{3}{m + 2}. \)

3) Упростим выражение: \( \frac{3k}{k^3 — 1} + \frac{4k + 1}{1 — k^3} + \frac{k^2}{1 — k^3}. \)

Здесь \( 1 — k^3 = -(k^3 — 1) \), поэтому вторая и третья дроби будут иметь одинаковые знаменатели, и мы можем привести их к одному знаменателю, меняя знак второй дроби:

\( = \frac{3k}{k^3 — 1} — \frac{4k + 1}{k^3 — 1} — \frac{k^2}{k^3 — 1}. \)

Теперь объединяем все дроби в одну:

\( = \frac{3k — (4k + 1) — k^2}{k^3 — 1} = \frac{3k — 4k — 1 — k^2}{k^3 — 1}. \)

Упростим числитель:

\( = \frac{-k^2 — k — 1}{k^3 — 1}. \)

Знаменатель \( k^3 — 1 \) можно разложить как разность кубов:

\( k^3 — 1 = (k — 1)(k^2 + k + 1), \)

и получаем:

\( = \frac{-(k^2 + k + 1)}{(k — 1)(k^2 + k + 1)}. \)

Сократим \( (k^2 + k + 1) \) в числителе и знаменателе:

\( = \frac{-1}{k — 1}. \)

Наконец, можно записать это как:

\( = \frac{1}{1 — k}. \)

Ответ: \( \frac{1}{1 — k}. \)