ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(\frac{5m — n}{14m} — \frac{m — 6n}{7m} \)

2) \(\frac{a + b}{ab} + \frac{a — c}{ac} \)

3) \(\frac{k + 4}{k} — \frac{3k — 4}{k^2} \)

4) \(\frac{x — y}{x^3} — \frac{y — x^2}{x^2 y} \)

5) \(\frac{2m — 3n}{m^2 n} + \frac{7m — 2n}{m n^2} \)

6) \(\frac{c + d}{c d^4} — \frac{c^2 — 8d}{c^3 d^3} \)

1) \(\frac{5m — n}{14m} — \frac{m — 6n}{7m} = \frac{5m — n — 2(m — 6n)}{14m} =\)
\(= \frac{5m — n — 2m + 12n}{14m} = \frac{3m + 11n}{14m};\)

2) \(\frac{a + b}{ab} + \frac{a — c}{ac} = \frac{c(a + b) + b(a — c)}{abc} = \frac{ac + bc + ab — bc}{abc} =\)
\(= \frac{ac + ab}{abc} = \frac{a(c + b)}{abc} = \frac{b + c}{bc};\)

3) \(\frac{k + 4}{k} — \frac{3k — 4}{k^2} = \frac{k(k + 4) — (3k — 4)}{k^2} =\)
\(= \frac{k^2 + 4k — 3k + 4}{k^2} = \frac{k^2 + k + 4}{k^2};\)

4) \(\frac{x — y}{x^3} — \frac{y — x^2}{x^2 y} = \frac{y(x — y) — x(y — x^2)}{x^3 y} =\)
\(= \frac{xy — y^2 — xy + x^3}{x^3 y} = \frac{x^3 — y^2}{x^3 y};\)

5) \(\frac{2m — 3n}{m^2 n} + \frac{7m — 2n}{m n^2} = \frac{n(2m — 3n) + m(7m — 2n)}{m^2 n^2} =\)
\(= \frac{2mn — 3n^2 + 7m^2 — 2mn}{m^2 n^2} = \frac{7m^2 — 3n^2}{m^2 n^2};\)

6) \(\frac{c + d}{c d^4} — \frac{c^2 — 8d}{c^3 d^3} = \frac{c^2(c + d) — d(c^2 — 8d)}{c^3 d^4} =\)
\(= \frac{c^3 + c^2 d — c^2 d + 8d^2}{c^3 d^4} = \frac{c^3 + 8d^2}{c^3 d^4}.\)

1) \(\frac{5m — n}{14m} — \frac{m — 6n}{7m} = \frac{5m — n — 2(m — 6n)}{14m} =\)
\(= \frac{5m — n — 2m + 12n}{14m} = \frac{3m + 11n}{14m};\)

Для начала у нас есть две дроби с одинаковым знаменателем \( 14m \). Чтобы упростить выражение, нужно сначала привести их к общему знаменателю, если это необходимо. В данном случае, дробь с \( \frac{m — 6n}{7m} \) имеет знаменатель \( 7m \), который нужно удвоить, умножив числитель и знаменатель на 2, чтобы получить \( 14m \), что и происходит во второй строке.

Теперь раскрываем скобки в числителе первой дроби: \( 5m — n — 2(m — 6n) \). Раскроем скобки:

\( 5m — n — 2m + 12n = 5m — 2m + 12n — n = 3m + 11n \).

Таким образом, получаем окончательное выражение: \( \frac{3m + 11n}{14m} \), что и является упрощённым выражением.

2) \(\frac{a + b}{ab} + \frac{a — c}{ac} = \frac{c(a + b) + b(a — c)}{abc} = \frac{ac + bc + ab — bc}{abc} =\)
\(= \frac{ac + ab}{abc} = \frac{a(c + b)}{abc} = \frac{b + c}{bc};\)

Здесь у нас две дроби, одна с знаменателем \( ab \), а другая с \( ac \). Для упрощения нужно привести их к общему знаменателю, который будет равен \( abc \). Чтобы привести дроби к общему знаменателю, умножаем первую дробь на \( c \), а вторую — на \( b \).

Теперь числитель обеих дробей будет: \( c(a + b) \) и \( b(a — c) \). Раскрываем скобки:

\( c(a + b) = ac + bc \),

\( b(a — c) = ab — bc \).

Теперь складываем числители: \( ac + bc + ab — bc \), получаем:

\( ac + ab \),

И финальное выражение будет: \( \frac{ac + ab}{abc} = \frac{a(c + b)}{abc} \), которое затем можно упростить до \( \frac{b + c}{bc} \).

3) \(\frac{k + 4}{k} — \frac{3k — 4}{k^2} = \frac{k(k + 4) — (3k — 4)}{k^2} =\)
\(= \frac{k^2 + 4k — 3k + 4}{k^2} = \frac{k^2 + k + 4}{k^2};\)

Здесь у нас выражение с двумя дробями, одна из которых имеет знаменатель \( k \), а другая — \( k^2 \). Приводим дроби к общему знаменателю, который будет \( k^2 \). Для этого умножаем первую дробь на \( k \), а вторую оставляем без изменений.

Теперь числители: \( k(k + 4) \) и \( 3k — 4 \). Раскрываем скобки:

\( k(k + 4) = k^2 + 4k \),

\( 3k — 4 \) остаётся как есть.

Теперь складываем числители: \( k^2 + 4k — 3k + 4 \), получаем:

\( k^2 + k + 4 \),

И итоговое выражение будет: \( \frac{k^2 + k + 4}{k^2} \), что является упрощённым результатом.

4) \(\frac{x — y}{x^3} — \frac{y — x^2}{x^2 y} = \frac{y(x — y) — x(y — x^2)}{x^3 y} =\)
\(= \frac{xy — y^2 — xy + x^3}{x^3 y} = \frac{x^3 — y^2}{x^3 y};\)

Для упрощения этого выражения также приводим дроби к общему знаменателю, который равен \( x^3 y \). Умножаем первую дробь на \( y \), а вторую на \( x \).

Теперь числители: \( y(x — y) \) и \( x(y — x^2) \). Раскрываем скобки:

\( y(x — y) = xy — y^2 \),

\( x(y — x^2) = xy — x^3 \).

Теперь вычитаем: \( xy — y^2 — xy + x^3 \), получаем:

\( x^3 — y^2 \),

И финальное выражение будет: \( \frac{x^3 — y^2}{x^3 y} \).

5) \(\frac{2m — 3n}{m^2 n} + \frac{7m — 2n}{m n^2} = \frac{n(2m — 3n) + m(7m — 2n)}{m^2 n^2} =\)
\(= \frac{2mn — 3n^2 + 7m^2 — 2mn}{m^2 n^2} = \frac{7m^2 — 3n^2}{m^2 n^2};\)

Для упрощения данных дробей приводим их к общему знаменателю, который равен \( m^2 n^2 \). Умножаем первую дробь на \( n \), а вторую на \( m \).

Теперь числители: \( n(2m — 3n) \) и \( m(7m — 2n) \). Раскрываем скобки:

\( n(2m — 3n) = 2mn — 3n^2 \),

\( m(7m — 2n) = 7m^2 — 2mn \).

Теперь складываем: \( 2mn — 3n^2 + 7m^2 — 2mn \), получаем:

\( 7m^2 — 3n^2 \),

И итоговое выражение будет: \( \frac{7m^2 — 3n^2}{m^2 n^2} \).

6) \(\frac{c + d}{c d^4} — \frac{c^2 — 8d}{c^3 d^3} = \frac{c^2(c + d) — d(c^2 — 8d)}{c^3 d^4} =\)
\(= \frac{c^3 + c^2 d — c^2 d + 8d^2}{c^3 d^4} = \frac{c^3 + 8d^2}{c^3 d^4}.\)

Здесь также приводим дроби к общему знаменателю, который равен \( c^3 d^4 \). Умножаем первую дробь на \( c^2 \), а вторую на \( d \).

Теперь числители: \( c^2(c + d) \) и \( d(c^2 — 8d) \). Раскрываем скобки:

\( c^2(c + d) = c^3 + c^2 d \),

\( d(c^2 — 8d) = c^2 d — 8d^2 \).

Теперь складываем: \( c^3 + c^2 d — c^2 d + 8d^2 \), получаем:

\( c^3 + 8d^2 \),

И финальное выражение будет: \( \frac{c^3 + 8d^2}{c^3 d^4} \).