ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{a^2 + 1}{a^2 — 2a + 1} + \frac{a + 1}{a — 1} \)

2) \( \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} — \frac{a — b}{a + b} \)

3) \( \frac{c + 7}{c — 7} + \frac{28c}{49 — c^2} \)

4) \( \frac{5a + 3}{2a^2 + 6a} + \frac{6 — 3a}{a^2 — 9} \)

5) \( \frac{a}{a^2 — 4a + 4} — \frac{a + 4}{a^2 — 4} \)

6) \( \frac{2p}{p — 5} — \frac{5}{p + 5} + \frac{2p^2}{25 — p^2} \)

7) \( \frac{1}{y} — \frac{y + 8}{16 — y^2} — \frac{2}{y — 4} \)

8) \( \frac{2b — 1}{4b + 2} + \frac{4b}{4b^2 — 1} + \frac{2b + 1}{3 — 6b} \)

1) \( \frac{a^2 + 1}{a^2 — 2a + 1} + \frac{a + 1}{a — 1} = \frac{a^2 + 1}{(a — 1)^2} + \frac{a + 1}{a — 1} = \)
\( = \frac{a^2 + 1 + (a + 1)(a — 1)}{(a — 1)^2} = \frac{a^2 + 1 + a^2 — 1}{(a — 1)^2} = \frac{2a^2}{(a — 1)^2}; \)

2) \( \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} — \frac{a — b}{a + b} = \frac{a^2 + b^2}{(a — b)(a + b)} — \frac{a — b}{a + b} = \frac{a^2 + b^2 — (a — b)^2}{(a — b)(a + b)} = \)
\( = \frac{a^2 + b^2 — a^2 + 2ab — b^2}{a^2 — b^2} = \frac{2ab}{a^2 — b^2}; \)

3) \( \frac{c + 7}{c — 7} + \frac{28c}{49 — c^2} = \frac{c + 7}{c — 7} + \frac{28c}{(7 — c)(7 + c)} = \)
\( = \frac{c + 7}{c — 7} — \frac{28c}{(c — 7)(c + 7)} = \frac{(c + 7)^2 — 28c}{(c — 7)(c + 7)} = \frac{c^2 + 14c + 49 — 28c}{(c — 7)(c + 7)} = \)
\( = \frac{c^2 — 14c + 49}{(c — 7)(c + 7)} = \frac{(c — 7)^2}{(c — 7)(c + 7)} = \frac{c — 7}{c + 7}; \)

4) \( \frac{5a + 3}{2a^2 + 6a} + \frac{6 — 3a}{a^2 — 9} = \frac{5a + 3}{2a(a + 3)} + \frac{6 — 3a}{(a — 3)(a + 3)} = \)
\( = \frac{(5a + 3)(a — 3) + 2a(6 — 3a)}{2a(a — 3)(a + 3)} = \frac{5a^2 — 15a + 3a — 9 + 12a — 6a^2}{2a(a — 3)(a + 3)} = \)
\( = \frac{-a^2 — 9}{2a(a^2 — 9)} = -\frac{a^2 + 9}{2a(a^2 — 9)}; \)

5) \( \frac{a}{a^2 — 4a + 4} — \frac{a + 4}{a^2 — 4} = \frac{a}{(a — 2)^2} — \frac{a + 4}{(a — 2)(a + 2)} = \)
\( = \frac{a(a + 2) — (a + 4)(a — 2)}{(a — 2)^2(a + 2)} = \frac{a^2 + 2a — (a^2 + 2a — 8)}{(a — 2)^2(a + 2)} = \)
\( = \frac{a^2 + 2a — a^2 — 2a + 8}{(a — 2)^2(a + 2)} = \frac{8}{(a — 2)^2(a + 2)}; \)

6) \( \frac{2p}{p — 5} — \frac{5}{p + 5} + \frac{2p^2}{25 — p^2} = \frac{2p}{p — 5} — \frac{5}{p + 5} — \frac{2p^2}{(p — 5)(p + 5)} = \)
\( = \frac{2p(p + 5) — 5(p — 5) — 2p^2}{(p — 5)(p + 5)} = \frac{2p^2 + 10p — 5p + 25 — 2p^2}{(p — 5)(p + 5)} = \)
\( = \frac{5p + 25}{(p — 5)(p + 5)} = \frac{5(p + 5)}{(p — 5)(p + 5)} = \frac{5}{p — 5}; \)

7) \( \frac{1}{y} — \frac{y + 8}{16 — y^2} — \frac{2}{y — 4} = \frac{1}{y} — \frac{y + 8}{(4 — y)(4 + y)} + \frac{2}{4 — y} = \)
\( = \frac{(4 — y)(4 + y) — y(y + 8) + 2y(4 + y)}{y(4 — y)(4 + y)} = \)
\( = \frac{16 — y^2 — y^2 — 8y + 8y + 2y^2}{y(16 — y^2)} = \frac{16}{y(16 — y^2)}; \)

8) \( \frac{2b — 1}{4b + 2} + \frac{4b}{4b^2 — 1} + \frac{2b + 1}{3 — 6b} = \frac{2b — 1}{2(2b + 1)} + \frac{4b}{(2b — 1)(2b + 1)} — \frac{2b + 1}{3(2b — 1)} = \)
\( = \frac{3(2b — 1)^2 + 4b \cdot 6 — 2(2b + 1)^2}{6(2b — 1)(2b + 1)} = \)
\( = \frac{3(4b^2 — 4b + 1) + 24b — 2(4b^2 + 4b + 1)}{6(2b — 1)(2b + 1)} = \)
\( = \frac{12b^2 — 12b + 3 + 24b — 8b^2 — 8b — 2}{6(2b — 1)(2b + 1)} = \)
\( = \frac{4b^2 + 4b + 1}{6(2b — 1)(2b + 1)} = \frac{(2b + 1)^2}{6(2b — 1)(2b + 1)} = \frac{2b + 1}{6(2b — 1)}. \)

1) \( \frac{a^2 + 1}{a^2 — 2a + 1} + \frac{a + 1}{a — 1} \):

Для того чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (a — 1)^2 \), так как это разложение знаменателя первой дроби.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{a^2 + 1}{(a — 1)^2} \) и \( \frac{a + 1}{a — 1} = \frac{(a + 1)(a — 1)}{(a — 1)^2} \).

Теперь можем сложить дроби:

\( \frac{a^2 + 1}{(a — 1)^2} + \frac{(a + 1)(a — 1)}{(a — 1)^2} = \frac{a^2 + 1 + (a + 1)(a — 1)}{(a — 1)^2}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (a + 1)(a — 1) = a^2 — 1 \), и подставим это в числитель:

\( a^2 + 1 + a^2 — 1 = 2a^2. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{2a^2}{(a — 1)^2}. \)

2) \( \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} — \frac{a — b}{a + b} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (a — b)(a + b) \), так как это разложение знаменателя первой дроби.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{a^2 + b^2}{(a — b)(a + b)} \) и \( \frac{a — b}{a + b} = \frac{(a — b)^2}{(a — b)(a + b)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{a^2 + b^2}{(a — b)(a + b)} — \frac{(a — b)^2}{(a — b)(a + b)} = \frac{a^2 + b^2 — (a — b)^2}{(a — b)(a + b)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \), и подставим это в числитель:

\( a^2 + b^2 — (a^2 — 2ab + b^2) = a^2 + b^2 — a^2 + 2ab — b^2 = 2ab. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{2ab}{a^2 — b^2}. \)

3) \( \frac{c + 7}{c — 7} + \frac{28c}{49 — c^2} \):

Для того чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (c — 7)(c + 7) \), так как это разложение знаменателя второй дроби.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{c + 7}{c — 7} = \frac{(c + 7)(c + 7)}{(c — 7)(c + 7)} \) и \( \frac{28c}{(7 — c)(7 + c)} = -\frac{28c}{(c — 7)(c + 7)} \).

Теперь можем сложить дроби:

\( \frac{(c + 7)^2}{(c — 7)(c + 7)} — \frac{28c}{(c — 7)(c + 7)} = \frac{(c + 7)^2 — 28c}{(c — 7)(c + 7)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (c + 7)^2 = c^2 + 14c + 49 \), и подставим это в числитель:

\( c^2 + 14c + 49 — 28c = c^2 — 14c + 49. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{c^2 — 14c + 49}{(c — 7)(c + 7)} = \frac{(c — 7)^2}{(c — 7)(c + 7)} = \frac{c — 7}{c + 7}. \)

4) \( \frac{5a + 3}{2a^2 + 6a} + \frac{6 — 3a}{a^2 — 9} \):

Для того чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( 2a(a — 3)(a + 3) \), так как это наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{5a + 3}{2a(a + 3)} = \frac{(5a + 3)(a — 3)}{2a(a — 3)(a + 3)} \) и \( \frac{6 — 3a}{(a — 3)(a + 3)} = \frac{2a(6 — 3a)}{2a(a — 3)(a + 3)} \).

Теперь можем сложить дроби:

\( \frac{(5a + 3)(a — 3) + 2a(6 — 3a)}{2a(a — 3)(a + 3)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (5a + 3)(a — 3) = 5a^2 — 15a + 3a — 9 \), и \( 2a(6 — 3a) = 12a — 6a^2 \), и подставим это в числитель:

\( 5a^2 — 15a + 3a — 9 + 12a — 6a^2 = -a^2 — 9. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{-a^2 — 9}{2a(a^2 — 9)} = -\frac{a^2 + 9}{2a(a^2 — 9)}. \)

5) \( \frac{a}{a^2 — 4a + 4} — \frac{a + 4}{a^2 — 4} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (a — 2)^2(a + 2) \), так как это наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{a}{(a — 2)^2} = \frac{a(a + 2)}{(a — 2)^2(a + 2)} \) и \( \frac{a + 4}{(a — 2)(a + 2)} = \frac{(a + 4)(a — 2)}{(a — 2)^2(a + 2)} \).

Теперь можем вычесть дроби:

\( \frac{a(a + 2) — (a + 4)(a — 2)}{(a — 2)^2(a + 2)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( a(a + 2) = a^2 + 2a \), и \( (a + 4)(a — 2) = a^2 — 2a + 4a — 8 = a^2 + 2a — 8 \), и подставим это в числитель:

\( a^2 + 2a — (a^2 + 2a — 8) = 8. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{8}{(a — 2)^2(a + 2)}. \)

6) \( \frac{2p}{p — 5} — \frac{5}{p + 5} + \frac{2p^2}{25 — p^2} \):

Для того чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (p — 5)(p + 5) \), так как это разложение знаменателя третьей дроби.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{2p}{p — 5} = \frac{2p(p + 5)}{(p — 5)(p + 5)} \), и \( \frac{5}{p + 5} = \frac{5(p — 5)}{(p — 5)(p + 5)} \), и \( \frac{2p^2}{(p — 5)(p + 5)} \).

Теперь можем сложить и вычесть дроби:

\( \frac{2p(p + 5) — 5(p — 5) — 2p^2}{(p — 5)(p + 5)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( 2p(p + 5) = 2p^2 + 10p \), и \( 5(p — 5) = 5p — 25 \), и подставим это в числитель:

\( 2p^2 + 10p — (5p — 25) — 2p^2 = 5p + 25. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{5p + 25}{(p — 5)(p + 5)} = \frac{5(p + 5)}{(p — 5)(p + 5)} = \frac{5}{p — 5}. \)

7) \( \frac{1}{y} — \frac{y + 8}{16 — y^2} — \frac{2}{y — 4} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю \( y(16 — y^2) \), так как это наименьшее общее кратное знаменателей всех дробей.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{1}{y} = \frac{16 — y^2}{y(16 — y^2)} \), и \( \frac{y + 8}{(4 — y)(4 + y)} = \frac{y + 8}{y(16 — y^2)} \), и \( \frac{2}{y — 4} = \frac{2y(4 + y)}{y(16 — y^2)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{(16 — y^2) — (y + 8) + 2y(4 + y)}{y(16 — y^2)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (16 — y^2) — (y + 8) + 2y(4 + y) = 16 — y^2 — y — 8 + 8y + 2y^2 =\)

\( = 16 — y^2 — y + 8y + 2y^2 = 16. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{16}{y(16 — y^2)}. \)

8) \( \frac{2b — 1}{4b + 2} + \frac{4b}{4b^2 — 1} + \frac{2b + 1}{3 — 6b} \):

Для того чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю \( 6(2b — 1)(2b + 1) \), так как это наименьшее общее кратное знаменателей всех дробей.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{2b — 1}{2(2b + 1)} = \frac{3(2b — 1)^2}{6(2b — 1)(2b + 1)} \), и \( \frac{4b}{(2b — 1)(2b + 1)} = \frac{4b \cdot 6}{6(2b — 1)(2b + 1)} \), и \( \frac{2b + 1}{3(2b — 1)} = \frac{2(2b + 1)^2}{6(2b — 1)(2b + 1)} \).

Теперь можем сложить дроби:

\( \frac{3(2b — 1)^2 + 4b \cdot 6 — 2(2b + 1)^2}{6(2b — 1)(2b + 1)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( 3(2b — 1)^2 = 12b^2 — 12b + 3 \), и \( 4b \cdot 6 = 24b \), и \( 2(2b + 1)^2 = 8b^2 + 8b + 2 \), и подставим это в числитель:

\( 12b^2 — 12b + 3 + 24b — 8b^2 — 8b — 2 = 4b^2 + 4b + 1. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{4b^2 + 4b + 1}{6(2b — 1)(2b + 1)} = \frac{(2b + 1)^2}{6(2b — 1)(2b + 1)} = \frac{2b + 1}{6(2b — 1)}. \)