ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{m + n}{m — n} — \frac{m^2 + n^2}{m^2 — n^2} \)

2) \( \frac{x — y}{x + y} + \frac{y^2}{2xy + x^2 + y^2} \)

3) \( \frac{2a}{4a^2 — 1} — \frac{a + 4}{2a^2 + a} \)

4) \( \frac{b — 2}{b^2 + 6b + 9} — \frac{b}{b^2 — 9} \)

5) \( \frac{x — 6}{x^2 + 3x} + \frac{x}{x + 3} — \frac{x — 3}{x} \)

6) \( \frac{y + 2}{y — 2} — \frac{y — 2}{y + 2} — \frac{16}{y^2 — 4} \)

1) \( \frac{m + n}{m — n} — \frac{m^2 + n^2}{m^2 — n^2} = \frac{m + n}{m — n} — \frac{m^2 + n^2}{(m — n)(m + n)} = \)
\( = \frac{(m + n)^2 — (m^2 + n^2)}{(m — n)(m + n)} = \frac{m^2 + 2mn + n^2 — m^2 — n^2}{(m — n)(m + n)} = \frac{2mn}{m^2 — n^2}; \)

2) \( \frac{x — y}{x + y} + \frac{y^2}{2xy + x^2 + y^2} = \frac{x — y}{x + y} + \frac{y^2}{(x + y)^2} = \frac{(x — y)(x + y) + y^2}{(x + y)^2} = \)
\( = \frac{x^2 — y^2 + y^2}{(x + y)^2} = \frac{x^2}{(x + y)^2}; \)

3) \( \frac{2a}{4a^2 — 1} — \frac{a + 4}{2a^2 + a} = \frac{2a}{(2a — 1)(2a + 1)} — \frac{a + 4}{a(2a + 1)} = \)
\( = \frac{2a^2 — (a + 4)(2a — 1)}{a(2a — 1)(2a + 1)} = \frac{2a^2 — (2a^2 — a + 8a — 4)}{a(2a — 1)(2a + 1)} = \)
\( = \frac{2a^2 — 2a^2 — 7a + 4}{a(2a — 1)(2a + 1)} = \frac{4 — 7a}{a(4a^2 — 1)}; \)

4) \( \frac{b — 2}{b^2 + 6b + 9} — \frac{b}{b^2 — 9} = \frac{b — 2}{(b + 3)^2} — \frac{b}{(b — 3)(b + 3)} = \)
\( = \frac{(b — 2)(b — 3) — b(b + 3)}{(b + 3)^2(b — 3)} = \frac{b^2 — 5b + 6 — b^2 — 3b}{(b + 3)^2(b — 3)} = \)
\( = \frac{6 — 8b}{(b + 3)^2(b — 3)}; \)

5) \( \frac{x — 6}{x^2 + 3x} + \frac{x}{x + 3} — \frac{x — 3}{x} = \frac{x — 6}{x(x + 3)} + \frac{x}{x + 3} — \frac{x — 3}{x} = \)
\( = \frac{x — 6 + x^2 — (x — 3)(x + 3)}{x(x + 3)} = \frac{x — 6 + x^2 — (x^2 — 9)}{x(x + 3)} = \)
\( = \frac{x — 6 + x^2 — x^2 + 9}{x(x + 3)} = \frac{x + 3}{x(x + 3)} = \frac{1}{x}; \)

6) \( \frac{y + 2}{y — 2} — \frac{y — 2}{y + 2} — \frac{16}{y^2 — 4} = \frac{y + 2}{y — 2} — \frac{y — 2}{y + 2} — \frac{16}{(y — 2)(y + 2)} = \)
\( = \frac{(y + 2)^2 — (y — 2)^2 — 16}{(y — 2)(y + 2)} = \frac{y^2 + 4y + 4 — (y^2 — 4y + 4) — 16}{(y — 2)(y + 2)} = \)
\( = \frac{y^2 + 4y + 4 — y^2 + 4y — 4 — 16}{(y — 2)(y + 2)} = \frac{8y — 16}{(y — 2)(y + 2)} = \frac{8(y — 2)}{(y — 2)(y + 2)} = \frac{8}{y + 2}. \)

1) \( \frac{m + n}{m — n} — \frac{m^2 + n^2}{m^2 — n^2} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (m — n)(m + n) \), так как это разложение знаменателя второй дроби.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{m + n}{m — n} \) и \( \frac{m^2 + n^2}{(m — n)(m + n)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{(m + n)^2 — (m^2 + n^2)}{(m — n)(m + n)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 \), и подставим это в числитель:

\( m^2 + 2mn + n^2 — (m^2 + n^2) = 2mn. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{2mn}{m^2 — n^2}. \)

2) \( \frac{x — y}{x + y} + \frac{y^2}{2xy + x^2 + y^2} \):

Для того чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (x + y)^2 \), так как это разложение знаменателя второй дроби.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{x — y}{x + y} \) и \( \frac{y^2}{(x + y)^2} \).

Теперь можем выполнить сложение:

\( \frac{(x — y)(x + y) + y^2}{(x + y)^2} = \frac{x^2 — y^2 + y^2}{(x + y)^2}. \)

Теперь упрощаем числитель:

\( x^2 — y^2 + y^2 = x^2. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{x^2}{(x + y)^2}. \)

3) \( \frac{2a}{4a^2 — 1} — \frac{a + 4}{2a^2 + a} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( a(2a — 1)(2a + 1) \), так как это наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{2a}{(2a — 1)(2a + 1)} \) и \( \frac{a + 4}{a(2a + 1)} = \frac{(a + 4)(2a — 1)}{a(2a — 1)(2a + 1)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{2a^2 — (a + 4)(2a — 1)}{a(2a — 1)(2a + 1)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (a + 4)(2a — 1) = 2a^2 — a + 8a — 4 = 2a^2 + 7a — 4 \), и подставим это в числитель:

\( 2a^2 — (2a^2 + 7a — 4) = 2a^2 — 2a^2 — 7a + 4 = -7a + 4. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{-7a + 4}{a(2a — 1)(2a + 1)} = \frac{4 — 7a}{a(4a^2 — 1)}. \)

4) \( \frac{b — 2}{b^2 + 6b + 9} — \frac{b}{b^2 — 9} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (b + 3)^2(b — 3) \), так как это наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{b — 2}{(b + 3)^2} \) и \( \frac{b}{(b — 3)(b + 3)} = \frac{b(b + 3)}{(b + 3)^2(b — 3)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{(b — 2)(b — 3) — b(b + 3)}{(b + 3)^2(b — 3)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (b — 2)(b — 3) = b^2 — 3b — 2b + 6 = b^2 — 5b + 6 \), и \( b(b + 3) = b^2 + 3b \), и подставим это в числитель:

\( b^2 — 5b + 6 — b^2 — 3b = 6 — 8b. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{6 — 8b}{(b + 3)^2(b — 3)}. \)

5) \( \frac{x — 6}{x^2 + 3x} + \frac{x}{x + 3} — \frac{x — 3}{x} \):

Для того чтобы сложить или вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( x(x + 3) \), так как это наименьшее общее кратное знаменателей.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{x — 6}{x(x + 3)} \), \( \frac{x}{x + 3} = \frac{x(x)}{x(x + 3)} \), и \( \frac{x — 3}{x} = \frac{(x — 3)(x + 3)}{x(x + 3)} \).

Теперь можем сложить и вычесть дроби:

\( \frac{x — 6 + x^2 — (x — 3)(x + 3)}{x(x + 3)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (x — 3)(x + 3) = x^2 — 9 \), и подставим это в числитель:

\( x — 6 + x^2 — (x^2 — 9) = x — 6 + x^2 — x^2 + 9 = x + 3. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{x + 3}{x(x + 3)} = \frac{1}{x}. \)

6) \( \frac{y + 2}{y — 2} — \frac{y — 2}{y + 2} — \frac{16}{y^2 — 4} \):

Для того чтобы сложить или вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю \( y(16 — y^2) \). Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{y + 2}{y — 2} = \frac{(y + 2)(4 + y)}{y(16 — y^2)} \), и \( \frac{y — 2}{y + 2} = \frac{(y — 2)(y + 2)}{y(16 — y^2)} \), и \( \frac{16}{(y — 2)(y + 2)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{(y + 2)^2 — (y — 2)^2 — 16}{(y — 2)(y + 2)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (y + 2)^2 = y^2 + 4y + 4 \), \( (y — 2)^2 = y^2 — 4y + 4 \), и подставим это в числитель:

\( y^2 + 4y + 4 — y^2 + 4y — 4 — 16 = 8y — 16. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{8y — 16}{(y — 2)(y + 2)} = \frac{8(y — 2)}{(y — 2)(y + 2)} = \frac{8}{y + 2}. \)