ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение данного выражения не зависит от значения переменной:

1) \( \frac{2x + 1}{2x — 4} + \frac{2x — 1}{6 — 3x} — \frac{x + 7}{6x — 12} \)

2) \( \frac{24 — 2a}{a^2 — 16} — \frac{a}{2a — 8} + \frac{4}{a + 4} \)

1) \( \frac{2x + 1}{2x — 4} + \frac{2x — 1}{6 — 3x} — \frac{x + 7}{6x — 12} = \frac{2x + 1}{2(x — 2)} — \frac{2x — 1}{3(x — 2)} — \frac{x + 7}{6(x — 2)} = \)
\( = \frac{3(2x + 1) — 2(2x — 1) — (x + 7)}{6(x — 2)} = \frac{6x + 3 — 4x + 2 — x — 7}{6(x — 2)} = \)
\( = \frac{x — 2}{6(x — 2)} = \frac{1}{6} \Rightarrow \) при всех допустимых значениях переменной значение данного выражения не зависит от значения переменной.
Что и требовалось доказать.

2) \( \frac{24 — 2a}{a^2 — 16} — \frac{a}{2a — 8} + \frac{4}{a + 4} = \frac{24 — 2a}{(a — 4)(a + 4)} — \frac{a}{2(a — 4)} + \frac{4}{a + 4} = \)
\( = \frac{2(24 — 2a) — a(a + 4) + 4 \cdot 2(a — 4)}{2(a — 4)(a + 4)} = \)
\( = \frac{48 — 4a — a^2 — 4a + 8a — 32}{2(a^2 — 16)} = \frac{-a^2 + 16}{2(a^2 — 16)} = -\frac{1}{2} = -0{,}5 \Rightarrow \)
при всех допустимых значениях переменной значение данного выражения не зависит от значения переменной.
Что и требовалось доказать.

1) Доказательство для выражения \( \frac{2x + 1}{2x — 4} + \frac{2x — 1}{6 — 3x} — \frac{x + 7}{6x — 12} \):

Для начала упростим каждое слагаемое. Первое слагаемое:

\( \frac{2x + 1}{2x — 4} \) можно записать как \( \frac{2x + 1}{2(x — 2)} \), так как \( 2x — 4 = 2(x — 2) \).

Второе слагаемое:

\( \frac{2x — 1}{6 — 3x} \) можно переписать как \( \frac{2x — 1}{-3(x — 2)} = -\frac{2x — 1}{3(x — 2)} \), так как \( 6 — 3x = -3(x — 2) \).

Третье слагаемое:

\( \frac{x + 7}{6x — 12} = \frac{x + 7}{6(x — 2)} \), так как \( 6x — 12 = 6(x — 2) \).

Теперь перепишем исходное выражение с общим знаменателем \( 6(x — 2) \):

\( \frac{2x + 1}{2(x — 2)} — \frac{2x — 1}{3(x — 2)} — \frac{x + 7}{6(x — 2)} \).

Приведем дроби к общему знаменателю:

Первая дробь: \( \frac{2x + 1}{2(x — 2)} \) можно умножить на \( 3/3 \), чтобы получить знаменатель \( 6(x — 2) \), и получим:

\( \frac{3(2x + 1)}{6(x — 2)} \).

Вторая дробь: \( -\frac{2x — 1}{3(x — 2)} \) можно умножить на \( 2/2 \), чтобы также получить знаменатель \( 6(x — 2) \), и получим:

\( -\frac{2(2x — 1)}{6(x — 2)} \).

Третья дробь уже имеет знаменатель \( 6(x — 2) \), так что оставляем её без изменений:

\( -\frac{x + 7}{6(x — 2)} \).

Теперь объединяем все дроби:

\( \frac{3(2x + 1) — 2(2x — 1) — (x + 7)}{6(x — 2)} \).

Раскроем скобки в числителе:

\( 3(2x + 1) = 6x + 3 \), \( 2(2x — 1) = 4x — 2 \), и подставим это в числитель:

\( 6x + 3 — 4x + 2 — x — 7 \).

Теперь упростим числитель:

\( 6x — 4x — x = x \), и \( 3 + 2 — 7 = -2 \).

Таким образом, числитель становится \( x — 2 \), и выражение принимает вид:

\( \frac{x — 2}{6(x — 2)} \).

Теперь можно сократить на \( x — 2 \), при условии что \( x \neq 2 \), и получаем:

\( \frac{1}{6}. \)

Таким образом, при всех допустимых значениях переменной значение данного выражения не зависит от значения переменной и всегда равно \( \frac{1}{6} \), что и требовалось доказать.

2) Доказательство для выражения \( \frac{24 — 2a}{a^2 — 16} — \frac{a}{2a — 8} + \frac{4}{a + 4} \):

Для начала упростим каждое слагаемое. Первое слагаемое:

\( \frac{24 — 2a}{a^2 — 16} = \frac{24 — 2a}{(a — 4)(a + 4)} \), так как \( a^2 — 16 = (a — 4)(a + 4) \).

Второе слагаемое:

\( \frac{a}{2a — 8} = \frac{a}{2(a — 4)} \), так как \( 2a — 8 = 2(a — 4) \).

Третье слагаемое:

\( \frac{4}{a + 4} \) остается без изменений.

Теперь перепишем исходное выражение с общим знаменателем \( 2(a — 4)(a + 4) \):

\( \frac{24 — 2a}{(a — 4)(a + 4)} — \frac{a}{2(a — 4)} + \frac{4}{a + 4} \).

Приведем дроби к общему знаменателю:

Первая дробь уже имеет знаменатель \( (a — 4)(a + 4) \), так что оставляем её без изменений:

\( \frac{24 — 2a}{(a — 4)(a + 4)} \).

Вторая дробь: \( \frac{a}{2(a — 4)} \) можно умножить на \( (a + 4) / (a + 4) \), чтобы получить знаменатель \( 2(a — 4)(a + 4) \), и получим:

\( \frac{a(a + 4)}{2(a — 4)(a + 4)} = \frac{a^2 + 4a}{2(a — 4)(a + 4)} \).

Третья дробь: \( \frac{4}{a + 4} \) можно умножить на \( 2(a — 4) / 2(a — 4) \), чтобы получить знаменатель \( 2(a — 4)(a + 4) \), и получим:

\( \frac{4 \cdot 2(a — 4)}{2(a — 4)(a + 4)} = \frac{8a — 32}{2(a — 4)(a + 4)} \).

Теперь объединяем все дроби:

\( \frac{2(24 — 2a) — (a^2 + 4a) + 8a — 32}{2(a — 4)(a + 4)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( 2(24 — 2a) = 48 — 4a \), и подставим это в числитель:

\( 48 — 4a — a^2 — 4a + 8a — 32. \)

Теперь упростим числитель:

\( -4a — 4a + 8a = 0 \), и \( 48 — 32 = 16 \).

Таким образом, числитель становится \( -a^2 + 16 \), и выражение принимает вид:

\( \frac{-a^2 + 16}{2(a — 4)(a + 4)} = \frac{16 — a^2}{2(a — 4)(a + 4)}. \)

Теперь мы видим, что числитель можно записать как разность квадратов:

\( \frac{16 — a^2}{2(a — 4)(a + 4)} = \frac{(4 — a)(4 + a)}{2(a — 4)(a + 4)}. \)

Теперь можем сократить \( (4 — a) \) и \( (a — 4) \) (при условии, что \( a \neq 4 \)), и получаем:

\( \frac{-1}{2} = -0{,}5. \)

Таким образом, при всех допустимых значениях переменной значение данного выражения не зависит от значения переменной и всегда равно \( -0{,}5 \), что и требовалось доказать.