ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде дроби выражение:

1) \( 1 — a + \frac{a^2 — 2}{a + 2} \)

2) \( \frac{a^2 — b^2}{3a + b} + 3a — b \)

3) \( \frac{c^2 + 9}{c — 3} — c — 3 \)

4) \( \frac{8m^2}{4m — 3} — 2m — 1 \)

1) \( 1 — a + \frac{a^2 — 2}{a + 2} = \frac{(1 — a)(a + 2) + a^2 — 2}{a + 2} = \)
\( = \frac{a + 2 — a^2 — 2a + a^2 — 2}{a + 2} = \frac{-a}{a + 2} = -\frac{a}{a + 2}; \)

2) \( \frac{a^2 — b^2}{3a + b} + 3a — b = \frac{a^2 — b^2 + (3a — b)(3a + b)}{3a + b} = \)
\( = \frac{a^2 — b^2 + 9a^2 — b^2}{3a + b} = \frac{10a^2 — 2b^2}{3a + b}; \)

3) \( \frac{c^2 + 9}{c — 3} — c — 3 = \frac{c^2 + 9}{c — 3} — (c + 3) = \frac{c^2 + 9 — (c + 3)(c — 3)}{c — 3} = \)
\( = \frac{c^2 + 9 — (c^2 — 9)}{c — 3} = \frac{18}{c — 3}; \)

4) \( \frac{8m^2}{4m — 3} — 2m — 1 = \frac{8m^2}{4m — 3} — (2m + 1) = \)
\( = \frac{8m^2 — (2m + 1)(4m — 3)}{4m — 3} = \frac{8m^2 — (8m^2 — 6m + 4m — 3)}{4m — 3} = \)
\( = \frac{8m^2 — 8m^2 + 2m + 3}{4m — 3} = \frac{2m + 3}{4m — 3}. \)

1) \( 1 — a + \frac{a^2 — 2}{a + 2} \):

Для начала приведение к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \( 1 — a \) и \( \frac{a^2 — 2}{a + 2} \) будет \( a + 2 \). Перепишем первое слагаемое \( 1 — a \) с этим знаменателем:

\( 1 — a = \frac{(1 — a)(a + 2)}{a + 2} \).

Теперь перепишем выражение с общим знаменателем \( a + 2 \):

\( \frac{(1 — a)(a + 2)}{a + 2} + \frac{a^2 — 2}{a + 2} = \frac{(1 — a)(a + 2) + a^2 — 2}{a + 2}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (1 — a)(a + 2) = a + 2 — a^2 — 2a = -a^2 — a + 2 \).

Теперь подставим это в числитель:

\( \frac{-a^2 — a + 2 + a^2 — 2}{a + 2}. \)

Упростим числитель:

\( -a^2 + a^2 = 0 \), и \( -a + 2 — 2 = -a \).

Таким образом, выражение упрощается до:

\( \frac{-a}{a + 2} = -\frac{a}{a + 2}. \)

2) \( \frac{a^2 — b^2}{3a + b} + 3a — b \):

Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \( \frac{a^2 — b^2}{3a + b} \) и \( 3a — b \) будет \( 3a + b \). Перепишем \( 3a — b \) с этим знаменателем:

\( 3a — b = \frac{(3a — b)(3a + b)}{3a + b}. \)

Теперь перепишем выражение с общим знаменателем \( 3a + b \):

\( \frac{a^2 — b^2}{3a + b} + \frac{(3a — b)(3a + b)}{3a + b} = \frac{a^2 — b^2 + (3a — b)(3a + b)}{3a + b}. \)

Теперь раскроем скобки в числителе:

\( (3a — b)(3a + b) = 9a^2 — b^2. \)

Теперь подставим это в числитель:

\( \frac{a^2 — b^2 + 9a^2 — b^2}{3a + b}. \)

Упростим числитель:

\( a^2 + 9a^2 = 10a^2 \), и \( -b^2 — b^2 = -2b^2 \).

Таким образом, выражение упрощается до:

\( \frac{10a^2 — 2b^2}{3a + b}. \)

3) \( \frac{c^2 + 9}{c — 3} — c — 3 \):

Перепишем второе слагаемое \( c + 3 \) с общим знаменателем \( c — 3 \):

\( c + 3 = \frac{(c + 3)(c — 3)}{c — 3}. \)

Теперь перепишем выражение с общим знаменателем \( c — 3 \):

\( \frac{c^2 + 9}{c — 3} — \frac{(c + 3)(c — 3)}{c — 3} = \frac{c^2 + 9 — (c^2 — 9)}{c — 3}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( c^2 — c^2 = 0 \), и \( 9 — (-9) = 18 \).

Таким образом, выражение упрощается до:

\( \frac{18}{c — 3}. \)

4) \( \frac{8m^2}{4m — 3} — 2m — 1 \):

Перепишем \( 2m + 1 \) с общим знаменателем \( 4m — 3 \):

\( 2m + 1 = \frac{(2m + 1)(4m — 3)}{4m — 3}. \)

Теперь перепишем выражение с общим знаменателем \( 4m — 3 \):

\( \frac{8m^2}{4m — 3} — \frac{(2m + 1)(4m — 3)}{4m — 3} = \frac{8m^2 — (2m + 1)(4m — 3)}{4m — 3}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (2m + 1)(4m — 3) = 8m^2 — 6m + 4m — 3 = 8m^2 — 2m — 3. \)

Теперь подставим это в числитель:

\( \frac{8m^2 — (8m^2 — 2m — 3)}{4m — 3}. \)

Упростим числитель:

\( 8m^2 — 8m^2 = 0 \), и \( -(-2m — 3) = 2m + 3 \).

Таким образом, выражение упрощается до:

\( \frac{2m + 3}{4m — 3}. \)