ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( b + 7 — \frac{14b}{b + 7} \)

2) \( 5c — \frac{10 — 29c + 10c^2}{2c — 5} + 2 \)

1) \( b + 7 — \frac{14b}{b + 7} = \frac{(b + 7)^2 — 14b}{b + 7} = \frac{b^2 + 14b + 49 — 14b}{b + 7} = \frac{b^2 + 49}{b + 7}; \)

2) \( 5c — \frac{10 — 29c + 10c^2}{2c — 5} + 2 = \)
\( = \frac{5c(2c — 5) — (10 — 29c + 10c^2) + 2(2c — 5)}{2c — 5} = \)
\( = \frac{10c^2 — 25c — 10 + 29c — 10c^2 + 4c — 10}{2c — 5} = \frac{8c — 20}{2c — 5} = \)
\( = \frac{4(2c — 5)}{2c — 5} = 4. \)

1) Упрощение выражения \( b + 7 — \frac{14b}{b + 7} \):

Для начала приведем выражение к общему знаменателю. Общий знаменатель для \( b + 7 \) и \( \frac{14b}{b + 7} \) будет \( b + 7 \). Перепишем первое слагаемое \( b + 7 \) с этим знаменателем:

\( b + 7 = \frac{(b + 7)^2}{b + 7} \).

Теперь перепишем выражение с общим знаменателем \( b + 7 \):

\( \frac{(b + 7)^2}{b + 7} — \frac{14b}{b + 7} = \frac{(b + 7)^2 — 14b}{b + 7} \).

Теперь раскроем скобки в числителе:

\( (b + 7)^2 = b^2 + 14b + 49 \).

Теперь подставим это в числитель:

\( \frac{b^2 + 14b + 49 — 14b}{b + 7} \).

Упростим числитель:

\( 14b — 14b = 0 \), и получаем:

\( \frac{b^2 + 49}{b + 7} \).

Таким образом, выражение упрощается до:

\( \frac{b^2 + 49}{b + 7}. \)

2) Упрощение выражения \( 5c — \frac{10 — 29c + 10c^2}{2c — 5} + 2 \):

Для начала перепишем выражение с общим знаменателем \( 2c — 5 \). Общий знаменатель для дробей \( 5c \), \( \frac{10 — 29c + 10c^2}{2c — 5} \) и \( 2 \) будет \( 2c — 5 \). Перепишем все слагаемые с этим общим знаменателем:

\( 5c = \frac{5c(2c — 5)}{2c — 5} \), \( 2 = \frac{2(2c — 5)}{2c — 5} \).

Теперь перепишем выражение с общим знаменателем:

\( \frac{5c(2c — 5)}{2c — 5} — \frac{10 — 29c + 10c^2}{2c — 5} + \frac{2(2c — 5)}{2c — 5} \).

Теперь объединим все дроби в одну с общим знаменателем \( 2c — 5 \):

\( = \frac{5c(2c — 5) — (10 — 29c + 10c^2) + 2(2c — 5)}{2c — 5} \).

Раскроем скобки в числителе:

\( 5c(2c — 5) = 10c^2 — 25c \), \( 2(2c — 5) = 4c — 10 \), подставим это в числитель:

\( = \frac{10c^2 — 25c — (10 — 29c + 10c^2) + 4c — 10}{2c — 5} \).

Теперь раскроем скобки в числителе:

\( 10c^2 — 25c — 10 + 29c — 10c^2 + 4c — 10 = 10c^2 — 25c — 10 +\)

\( + 29c — 10c^2 + 4c — 10 \).

Упростим числитель:

\( 10c^2 — 10c^2 = 0 \), и \( -25c + 29c + 4c = 8c \), и \( -10 — 10 = -20 \).

Таким образом, числитель становится:

\( = \frac{8c — 20}{2c — 5}. \)

Теперь вынесем общий множитель \( 4 \) из числителя:

\( = \frac{4(2c — 5)}{2c — 5}. \)

Теперь можем сократить \( 2c — 5 \) в числителе и знаменателе (при условии, что \( c \neq \frac{5}{2} \)), и получаем:

\( = 4. \)

Таким образом, при всех допустимых значениях переменной значение данного выражения не зависит от значения переменной и всегда равно \( 4 \), что и требовалось доказать.