ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( \frac{a + b}{a} — \frac{a}{a — b} + \frac{b^2}{a^2 — ab} = 0 \)

2) \( \frac{a + 3}{a + 1} — \frac{a + 1}{a — 1} + \frac{6}{a^2 — 1} = \frac{2}{a^2 — 1} \)

1) \( \frac{a + b}{a} — \frac{a}{a — b} + \frac{b^2}{a^2 — ab} = 0 \)
\( \frac{a + b}{a} — \frac{a}{a — b} + \frac{b^2}{a(a — b)} = 0 \)
\( \frac{(a + b)(a — b) — a^2 + b^2}{a(a — b)} = 0 \)
\( \frac{a^2 — b^2 — a^2 + b^2}{a(a — b)} = 0 \)
\( \frac{0}{a(a — b)} = 0 \)
\( 0 = 0 \Rightarrow \) что и требовалось доказать.

2) \( \frac{a + 3}{a + 1} — \frac{a + 1}{a — 1} + \frac{6}{a^2 — 1} = \frac{2}{a^2 — 1} \)
\( \frac{a + 3}{a + 1} — \frac{a + 1}{a — 1} + \frac{6}{(a — 1)(a + 1)} = \frac{2}{a^2 — 1} \)
\( \frac{(a + 3)(a — 1) — (a + 1)^2 + 6}{(a — 1)(a + 1)} = \frac{2}{a^2 — 1} \)
\( \frac{a^2 — a + 3a — 3 — a^2 — 2a — 1 + 6}{a^2 — 1} = \frac{2}{a^2 — 1} \)
\( \frac{2}{a^2 — 1} = \frac{2}{a^2 — 1} \Rightarrow \) что и требовалось доказать.

1) Доказательство тождества для выражения \( \frac{a + b}{a} — \frac{a}{a — b} + \frac{b^2}{a^2 — ab} = 0 \):

Шаг 1: Приведем дроби к общему знаменателю. Первое слагаемое: \( \frac{a + b}{a} \) уже имеет знаменатель \( a \), но для приведения к общему знаменателю \( a(a — b) \), умножим числитель и знаменатель на \( (a — b) \):

\( \frac{a + b}{a} = \frac{(a + b)(a — b)}{a(a — b)} \).

Второе слагаемое: \( \frac{a}{a — b} \) можно умножить числитель и знаменатель на \( a \), чтобы получить знаменатель \( a(a — b) \), и получим:

\( \frac{a}{a — b} = \frac{a \cdot a}{a(a — b)} = \frac{a^2}{a(a — b)} \).

Третье слагаемое: \( \frac{b^2}{a^2 — ab} = \frac{b^2}{a(a — b)} \), так как \( a^2 — ab = a(a — b) \).

Теперь перепишем все с общим знаменателем \( a(a — b) \):

\( \frac{(a + b)(a — b)}{a(a — b)} — \frac{a^2}{a(a — b)} + \frac{b^2}{a(a — b)} \).

Шаг 2: Объединим дроби с общим знаменателем:

\( \frac{(a + b)(a — b) — a^2 + b^2}{a(a — b)} \).

Шаг 3: Раскроем скобки в числителе:

\( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \), поэтому числитель станет:

\( \frac{a^2 — b^2 — a^2 + b^2}{a(a — b)} \).

Шаг 4: Упростим числитель:

\( a^2 — a^2 = 0 \) и \( -b^2 + b^2 = 0 \), таким образом числитель равен 0:

\( \frac{0}{a(a — b)} = 0 \).

Шаг 5: Мы доказали, что:

\( 0 = 0 \Rightarrow \) что и требовалось доказать.

2) Доказательство тождества для выражения \( \frac{a + 3}{a + 1} — \frac{a + 1}{a — 1} + \frac{6}{a^2 — 1} = \frac{2}{a^2 — 1} \):

Шаг 1: Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \( \frac{a + 3}{a + 1} \), \( \frac{a + 1}{a — 1} \) и \( \frac{6}{a^2 — 1} \) будет \( a^2 — 1 \). Мы знаем, что \( a^2 — 1 = (a — 1)(a + 1) \).

Перепишем все дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{a + 3}{a + 1} = \frac{(a + 3)(a — 1)}{a^2 — 1} \),
\( \frac{a + 1}{a — 1} = \frac{(a + 1)(a + 1)}{a^2 — 1} \),
\( \frac{6}{a^2 — 1} = \frac{6}{a^2 — 1} \).

Теперь перепишем выражение с общим знаменателем:

\( \frac{(a + 3)(a — 1) — (a + 1)^2 + 6}{a^2 — 1}. \)

Шаг 2: Раскроем скобки в числителе:

\( (a + 3)(a — 1) = a^2 — a + 3a — 3 = a^2 + 2a — 3 \),
\( (a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1 \),
подставим это в числитель:

\( \frac{a^2 + 2a — 3 — (a^2 + 2a + 1) + 6}{a^2 — 1}. \)

Шаг 3: Упростим числитель:

\( a^2 + 2a — 3 — a^2 — 2a — 1 + 6 = 2. \)

Шаг 4: Теперь числитель равен 2, и выражение становится:

\( \frac{2}{a^2 — 1}. \)

Шаг 5: Мы доказали, что:

\( \frac{2}{a^2 — 1} = \frac{2}{a^2 — 1} \Rightarrow \) что и требовалось доказать.