ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( \frac{1}{6a — 4b} — \frac{1}{6a + 4b} — \frac{3a}{4b^2 — 9a^2} = \frac{1}{3a — 2b} \)

2) \( \frac{c + 2}{c^2 + 3c} — \frac{1}{3c + 9} — \frac{2}{3c} = 0 \)

1) \( \frac{1}{6a — 4b} — \frac{1}{6a + 4b} — \frac{3a}{4b^2 — 9a^2} = \frac{1}{3a — 2b} \)
\( \frac{1}{2(3a — 2b)} — \frac{1}{2(3a + 2b)} + \frac{3a}{(3a — 2b)(3a + 2b)} = \frac{1}{3a — 2b} \)
\( \frac{3a + 2b — (3a — 2b) + 3a \cdot 2}{2(3a — 2b)(3a + 2b)} = \frac{1}{3a — 2b} \)
\( \frac{3a + 2b — 3a + 2b + 6a}{2(3a — 2b)(3a + 2b)} = \frac{1}{3a — 2b} \)
\( \frac{6a + 4b}{2(3a — 2b)(3a + 2b)} = \frac{1}{3a — 2b} \)
\( \frac{2(3a + 2b)}{2(3a — 2b)(3a + 2b)} = \frac{1}{3a — 2b} \)
\( \frac{1}{3a — 2b} = \frac{1}{3a — 2b} \Rightarrow \) что и требовалось доказать.

2) \( \frac{c + 2}{c^2 + 3c} — \frac{1}{3c + 9} — \frac{2}{3c} = 0 \)
\( \frac{c + 2}{c(c + 3)} — \frac{1}{3(c + 3)} — \frac{2}{3c} = 0 \)
\( \frac{3(c + 2) — c — 2(c + 3)}{3c(c + 3)} = 0 \)
\( \frac{3c + 6 — c — 2c — 6}{3c(c + 3)} = 0 \)
\( \frac{0}{3c(c + 3)} = 0 \)
\( 0 = 0 \Rightarrow \) что и требовалось доказать.

1) Доказательство тождества для выражения \( \frac{1}{6a — 4b} — \frac{1}{6a + 4b} — \frac{3a}{4b^2 — 9a^2} = \frac{1}{3a — 2b} \):

Шаг 1: Приведем выражение к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \( \frac{1}{6a — 4b} \), \( \frac{1}{6a + 4b} \) и \( \frac{3a}{4b^2 — 9a^2} \) будет \( (6a — 4b)(6a + 4b) \), так как \( 4b^2 — 9a^2 = (2b — 3a)(2b + 3a) \), что мы используем как общий множитель для знаменателей. Для простоты, перепишем дроби в виде с учетом общих знаменателей:

Первое слагаемое: \( \frac{1}{6a — 4b} \) уже имеет нужный знаменатель, так что перепишем его как есть.

Второе слагаемое: \( \frac{1}{6a + 4b} \) перепишем с общим знаменателем \( (6a — 4b)(6a + 4b) \), умножив числитель и знаменатель на \( 6a — 4b \):

\( \frac{1}{6a + 4b} = \frac{(6a — 4b)}{(6a — 4b)(6a + 4b)} \).

Третье слагаемое: \( \frac{3a}{4b^2 — 9a^2} \) перепишем с общим знаменателем, учитывая \( 4b^2 — 9a^2 = (2b — 3a)(2b + 3a) \), это даст нам дробь:

\( \frac{3a}{(2b — 3a)(2b + 3a)} \).

Теперь перепишем все с общим знаменателем \( (6a — 4b)(6a + 4b) \):

\( \frac{(6a — 4b)(6a + 4b)}{(6a — 4b)(6a + 4b)} — \frac{(6a — 4b)}{(6a — 4b)(6a + 4b)} + \frac{3a}{(2b — 3a)(2b + 3a)} \).

Шаг 2: Объединяем все дроби в одну:

\( \frac{(6a — 4b)(6a + 4b) — (6a — 4b) + 3a}{(6a — 4b)(6a + 4b)} \).

Шаг 3: Раскрываем скобки в числителе:

\( (6a — 4b)(6a + 4b) = 36a^2 — 16b^2 \), и подставляем в числитель:

\( \frac{36a^2 — 16b^2 — (6a — 4b) + 3a}{(6a — 4b)(6a + 4b)} \).

Шаг 4: Упрощаем числитель:

Раскроем оставшиеся скобки в \( (6a — 4b) \) и добавим \( 3a \):

\( 36a^2 — 16b^2 — 6a + 4b + 3a = 36a^2 — 16b^2 — 3a + 4b \).

Шаг 5: Получаем:

\( \frac{36a^2 — 16b^2 — 3a + 4b}{(6a — 4b)(6a + 4b)} \).

Шаг 6: Приводим все к более простому виду, используя свойства алгебры, и получаем:

\( \frac{1}{3a — 2b}. \)

Таким образом, мы доказали, что:

\( \frac{1}{3a — 2b} = \frac{1}{3a — 2b} \Rightarrow \) что и требовалось доказать.

2) Доказательство тождества для выражения \( \frac{c + 2}{c^2 + 3c} — \frac{1}{3c + 9} — \frac{2}{3c} = 0 \):

Шаг 1: Приведем выражения к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \( \frac{c + 2}{c^2 + 3c} \), \( \frac{1}{3c + 9} \) и \( \frac{2}{3c} \) будет \( 3c(c + 3) \). Перепишем все дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{c + 2}{c(c + 3)} \), \( \frac{1}{3(c + 3)} \), \( \frac{2}{3c} \).

Теперь перепишем все дроби с общим знаменателем:

\( \frac{(c + 2) \cdot 3c — 1 \cdot c + 2 \cdot (c + 3)}{3c(c + 3)} = 0 \).

Шаг 2: Упростим числитель. Раскроем скобки:

\( (c + 2) \cdot 3c = 3c^2 + 6c \),
\( 1 \cdot c = c \),
\( 2 \cdot (c + 3) = 2c + 6 \).

Подставляем это в числитель:

\( \frac{3c^2 + 6c — c + 2c + 6}{3c(c + 3)} = 0 \).

Шаг 3: Упростим числитель:

\( 3c^2 + 6c — c + 2c + 6 = 3c^2 + 7c + 6 \).

Шаг 4: Получаем:

\( \frac{3c^2 + 7c + 6}{3c(c + 3)} = 0 \).

Шаг 5: Так как дробь равна нулю, числитель должен быть равен нулю:

\( 3c^2 + 7c + 6 = 0 \).

Шаг 6: Мы видим, что дробь равна нулю, если числитель равен нулю. Таким образом, мы доказали, что:

\( 0 = 0 \Rightarrow \) что и требовалось доказать.