Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Найдите разность дробей:
1) \( \frac{a + 1}{a^3 — 1} — \frac{1}{a^2 + a + 1} \)
2) \( \frac{1}{b + 3} — \frac{b^2 — 6b}{b^3 + 27} \)
1) \( \frac{a + 1}{a^3 — 1} — \frac{1}{a^2 + a + 1} = \frac{a + 1}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} — \frac{1}{a^2 + a + 1} = \)
\( = \frac{a + 1 — (a — 1)}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{a + 1 — a + 1}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{2}{a^3 — 1}; \)
2) \( \frac{1}{b + 3} — \frac{b^2 — 6b}{b^3 + 27} = \frac{1}{b + 3} — \frac{b^2 — 6b}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} = \)
\( = \frac{b^2 — 3b + 9 — (b^2 — 6b)}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} = \frac{b^2 — 3b + 9 — b^2 + 6b}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} = \)
\( = \frac{3b + 9}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} = \frac{3(b + 3)}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} = \frac{3}{b^2 — 3b + 9}. \)
1) Найдем разность дробей \( \frac{a + 1}{a^3 — 1} — \frac{1}{a^2 + a + 1} \):
Шаг 1: Разлагаем знаменатели. Замечаем, что \( a^3 — 1 \) можно разложить как разность кубов:
\( a^3 — 1 = (a — 1)(a^2 + a + 1) \).
Перепишем дроби с этим разложением:
\( \frac{a + 1}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} — \frac{1}{a^2 + a + 1} \).
Шаг 2: Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( (a — 1)(a^2 + a + 1) \). Для второй дроби умножим числитель и знаменатель на \( a — 1 \):
\( \frac{1}{a^2 + a + 1} = \frac{a — 1}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} \).
Теперь выражение становится:
\( \frac{a + 1}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} — \frac{a — 1}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} \).
Шаг 3: Объединяем дроби, имеющие общий знаменатель:
\( \frac{a + 1 — (a — 1)}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} \).
Шаг 4: Упростим числитель:
\( a + 1 — (a — 1) = a + 1 — a + 1 = 2 \).
Шаг 5: Получаем:
\( \frac{2}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} \).
Шаг 6: Замечаем, что \( (a — 1)(a^2 + a + 1) = a^3 — 1 \), и переписываем результат:
\( \frac{2}{a^3 — 1} \).
Таким образом, разность дробей равна:
\( \frac{2}{a^3 — 1}. \)
2) Найдем разность дробей \( \frac{1}{b + 3} — \frac{b^2 — 6b}{b^3 + 27} \):
Шаг 1: Разлагаем знаменатель второго слагаемого. Замечаем, что \( b^3 + 27 \) — это сумма кубов, и ее можно разложить как:
\( b^3 + 27 = (b + 3)(b^2 — 3b + 9) \).
Перепишем дроби с этим разложением:
\( \frac{1}{b + 3} — \frac{b^2 — 6b}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} \).
Шаг 2: Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( (b + 3)(b^2 — 3b + 9) \). Для первой дроби умножим числитель и знаменатель на \( b^2 — 3b + 9 \):
\( \frac{1}{b + 3} = \frac{b^2 — 3b + 9}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} \).
Теперь выражение становится:
\( \frac{b^2 — 3b + 9}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} — \frac{b^2 — 6b}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} \).
Шаг 3: Объединяем дроби с общим знаменателем:
\( \frac{(b^2 — 3b + 9) — (b^2 — 6b)}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} \).
Шаг 4: Упростим числитель:
\( b^2 — 3b + 9 — b^2 + 6b = 3b + 9 \).
Шаг 5: Получаем:
\( \frac{3b + 9}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} \).
Шаг 6: Выносим общий множитель 3 из числителя:
\( \frac{3(b + 3)}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} \).
Шаг 7: Сокращаем \( (b + 3) \) в числителе и знаменателе:
\( \frac{3}{b^2 — 3b + 9}. \)
Таким образом, разность дробей равна:
\( \frac{3}{b^2 — 3b + 9}. \)
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!