ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество: \( \frac{3a^2 + 24}{a^3 + 8} — \frac{6}{a^2 — 2a + 4} — \frac{1}{a + 2} = \frac{2}{a + 2} \)

\( \frac{3a^2 + 24}{a^3 + 8} — \frac{6}{a^2 — 2a + 4} — \frac{1}{a + 2} = \frac{2}{a + 2} \)

\( \frac{3a^2 + 24}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} — \frac{6}{a^2 — 2a + 4} — \frac{1}{a + 2} = \frac{2}{a + 2} \)

\( \frac{3a^2 + 24 — 6(a + 2) — (a^2 — 2a + 4)}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} = \frac{2}{a + 2} \)

\( \frac{3a^2 + 24 — 6a — 12 — a^2 + 2a — 4}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} = \frac{2}{a + 2} \)

\( \frac{2a^2 — 4a + 8}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} = \frac{2}{a + 2} \)

\( \frac{2(a^2 — 2a + 4)}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} = \frac{2}{a + 2} \)

\( \frac{2}{a + 2} = \frac{2}{a + 2} \Rightarrow \) что и требовалось доказать.

Докажем, что \( \frac{3a^2 + 24}{a^3 + 8} — \frac{6}{a^2 — 2a + 4} — \frac{1}{a + 2} = \frac{2}{a + 2} \):

Шаг 1: Преобразуем выражение, начиная с первого слагаемого \( \frac{3a^2 + 24}{a^3 + 8} \). Замечаем, что \( a^3 + 8 \) можно разложить как сумму кубов:

\( a^3 + 8 = (a + 2)(a^2 — 2a + 4) \), так как это формула разности квадратов, поэтому:

\( \frac{3a^2 + 24}{a^3 + 8} = \frac{3a^2 + 24}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} \).

Шаг 2: Теперь перепишем исходное выражение, используя это разложение:

\( \frac{3a^2 + 24}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} — \frac{6}{a^2 — 2a + 4} — \frac{1}{a + 2}. \)

Шаг 3: Чтобы объединить все эти дроби в одну, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (a + 2)(a^2 — 2a + 4) \), так как это произведение всех знаменателей. Умножим каждое слагаемое на соответствующий множитель для приведения к общему знаменателю:

\( \frac{6}{a^2 — 2a + 4} = \frac{6(a + 2)}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} \),

\( \frac{1}{a + 2} = \frac{(a^2 — 2a + 4)}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)}. \)

Шаг 4: Подставим эти выражения в исходное уравнение:

\( \frac{3a^2 + 24}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} — \frac{6(a + 2)}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} — \frac{a^2 — 2a + 4}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)}. \)

Шаг 5: Объединим все слагаемые в числителе:

\( \frac{(3a^2 + 24) — 6(a + 2) — (a^2 — 2a + 4)}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)}. \)

Шаг 6: Раскроем скобки в числителе:

\( 6(a + 2) = 6a + 12, \) и теперь числитель будет выглядеть так:

\( (3a^2 + 24) — (6a + 12) — (a^2 — 2a + 4). \)

Шаг 7: Упростим числитель:

\( 3a^2 + 24 — 6a — 12 — a^2 + 2a — 4 = 2a^2 — 4a + 8. \)

Шаг 8: Таким образом, выражение принимает вид:

\( \frac{2a^2 — 4a + 8}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)}. \)

Шаг 9: Вынесем 2 за скобки в числителе:

\( = \frac{2(a^2 — 2a + 4)}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)}. \)

Шаг 10: Теперь видим, что \( (a^2 — 2a + 4) \) сокращается в числителе и знаменателе, и получаем:

\( = \frac{2}{a + 2}. \)

Шаг 11: Мы пришли к тому, что выражение равно \( \frac{2}{a + 2} \), что и требовалось доказать.