ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{9m^2 — 3mn + n^2}{3m — n} — \frac{9m^2 + 3mn + n^2}{3m + n}  \)

2) \( \frac{1}{b + 3} — \frac{b^2 — 6b}{b^3 + 27}  \)

3) \( \frac{1}{(a — 5b)^2} — \frac{2}{a^2 — 25b^2} + \frac{1}{(a + 5b)^2} \)

4) \( \frac{x^2 + 9x + 18}{xy + 3y — 2x — 6} — \frac{x + 5}{y — 2} \)

1) \( \frac{9m^2 — 3mn + n^2}{3m — n} — \frac{9m^2 + 3mn + n^2}{3m + n} = \)
\( = \frac{(3m + n)(9m^2 — 3mn + n^2) — (3m — n)(9m^2 + 3mn + n^2)}{(3m — n)(3m + n)} = \)
\( = \frac{27m^3 + n^3 — (27m^3 — n^3)}{9m^2 — n^2} = \frac{27m^3 + n^3 — 27m^3 + n^3}{9m^2 — n^2} = \frac{2n^3}{9m^2 — n^2}; \)

2) \( \frac{1}{b + 3} — \frac{b^2 — 6b}{b^3 + 27} = \frac{1}{b + 3} — \frac{b^2 — 6b}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} = \)
\( = \frac{b^2 — 3b + 9 — (b^2 — 6b)}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} = \frac{b^2 — 3b + 9 — b^2 + 6b}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} = \)
\( = \frac{3b + 9}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} = \frac{3(b + 3)}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} = \frac{3}{b^2 — 3b + 9}. \)

3) \( \frac{1}{(a — 5b)^2} — \frac{2}{a^2 — 25b^2} + \frac{1}{(a + 5b)^2} = \frac{1}{(a — 5b)^2} — \frac{2}{(a — 5b)(a + 5b)} + \frac{1}{(a + 5b)^2} = \)
\( = \frac{(a + 5b)^2 — 2(a — 5b)(a + 5b) + (a — 5b)^2}{(a — 5b)^2(a + 5b)^2} = \)
\( = \frac{a^2 + 10ab + 25b^2 — 2(a^2 — 25b^2) + a^2 — 10ab + 25b^2}{(a^2 — 25b^2)^2} = \)
\( = \frac{a^2 + 10ab + 25b^2 — 2a^2 + 50b^2 + a^2 — 10ab + 25b^2}{(a^2 — 25b^2)^2} = \frac{100b^2}{(a^2 — 25b^2)^2}; \)

4) \( \frac{x^2 + 9x + 18}{xy + 3y — 2x — 6} — \frac{x + 5}{y — 2} = \frac{x^2 + 9x + 18}{y(x + 3) — 2(x + 3)} — \frac{x + 5}{y — 2} = \)
\( = \frac{x^2 + 9x + 18}{(x + 3)(y — 2)} — \frac{x + 5}{y — 2} = \frac{x^2 + 9x + 18 — (x + 5)(x + 3)}{(x + 3)(y — 2)} = \)
\( = \frac{x^2 + 9x + 18 — (x^2 + 8x + 15)}{(x + 3)(y — 2)} = \frac{x + 3}{(x + 3)(y — 2)} = \frac{1}{y — 2}. \)

1) Решим выражение \( \frac{9m^2 — 3mn + n^2}{3m — n} — \frac{9m^2 + 3mn + n^2}{3m + n} \).

Первоначально, найдем общий знаменатель для двух дробей. Общий знаменатель будет равен \( (3m — n)(3m + n) \). Используя разность квадратов, получаем:

\( (3m — n)(3m + n) = 9m^2 — n^2 \).

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( = \frac{(3m + n)(9m^2 — 3mn + n^2) — (3m — n)(9m^2 + 3mn + n^2)}{(3m — n)(3m + n)} \).

Теперь раскрываем скобки в числителе. Сначала для первой части числителя:

\( (3m + n)(9m^2 — 3mn + n^2) = 27m^3 + 9m^2n — 9m^2n — 3mn^2 +\)

\(+ 9mn^2 + n^3 = 27m^3 + n^3 \).

Теперь для второй части числителя:

\( (3m — n)(9m^2 + 3mn + n^2) = 27m^3 + 9m^2n + 9mn^2 — 27m^3 -\)

\(- 3mn^2 — n^3 = -n^3 \).

Теперь вычитаем второй результат из первого:

\( 27m^3 + n^3 — (-27m^3 — n^3) = 27m^3 + n^3 + 27m^3 + n^3 = 54m^3 + 2n^3 \).

Заменяем это в исходной дроби:

\( = \frac{54m^3 + 2n^3}{9m^2 — n^2} \).

Таким образом, итоговое выражение будет равно \( \frac{2n^3}{9m^2 — n^2} \).

2) Рассмотрим выражение \( \frac{1}{b + 3} — \frac{b^2 — 6b}{b^3 + 27} \).

Сначала заметим, что знаменатель во второй дроби можно разложить по формуле куба суммы:

\( b^3 + 27 = (b + 3)(b^2 — 3b + 9) \).

Теперь перепишем дроби с общим знаменателем:

\( = \frac{1}{b + 3} — \frac{b^2 — 6b}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} \).

Теперь вычитаем дроби. Для этого приводим к общему знаменателю:

\( = \frac{b^2 — 3b + 9 — (b^2 — 6b)}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} \).

Упростим числитель:

\( b^2 — 3b + 9 — b^2 + 6b = 3b + 9 \).

Подставляем это обратно в дробь:

\( = \frac{3b + 9}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} \).

Теперь можем вынести общий множитель \( 3 \) из числителя:

\( = \frac{3(b + 3)}{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)} \).

Сокращаем на \( (b + 3) \), получаем:

\( = \frac{3}{b^2 — 3b + 9}. \)

3) Рассмотрим выражение \( \frac{1}{(a — 5b)^2} — \frac{2}{a^2 — 25b^2} + \frac{1}{(a + 5b)^2} \).

Начнем с того, что знаменатель во втором члене можно разложить как разность квадратов:

\( a^2 — 25b^2 = (a — 5b)(a + 5b) \).

Теперь перепишем дроби с общим знаменателем:

\( = \frac{1}{(a — 5b)^2} — \frac{2}{(a — 5b)(a + 5b)} + \frac{1}{(a + 5b)^2}. \)

Приводим все дроби к общему знаменателю \( (a — 5b)^2(a + 5b)^2 \), получаем:

\( = \frac{(a + 5b)^2 — 2(a — 5b)(a + 5b) + (a — 5b)^2}{(a — 5b)^2(a + 5b)^2}. \)

Теперь раскрываем скобки в числителе. Для первой части числителя:

\( (a + 5b)^2 = a^2 + 10ab + 25b^2. \)

Для второй части числителя:

\( 2(a — 5b)(a + 5b) = 2(a^2 — 25b^2) = 2a^2 — 50b^2. \)

Для третьей части числителя:

\( (a — 5b)^2 = a^2 — 10ab + 25b^2. \)

Теперь складываем все части числителя:

\( a^2 + 10ab + 25b^2 — (2a^2 — 50b^2) + a^2 — 10ab + 25b^2 =\)

\( = a^2 + 10ab + 25b^2 — 2a^2 + 50b^2 + a^2 — 10ab + 25b^2. \)

Упрощаем:

\( a^2 — 2a^2 + a^2 + 10ab — 10ab + 25b^2 + 50b^2 + 25b^2 = 100b^2. \)

Таким образом, числитель стал равен \( 100b^2 \). Теперь окончательно получаем:

\( = \frac{100b^2}{(a^2 — 25b^2)^2}. \)

4) Рассмотрим выражение \( \frac{x^2 + 9x + 18}{xy + 3y — 2x — 6} — \frac{x + 5}{y — 2}. \)

Сначала факторизуем знаменатель в первой дроби:

\( xy + 3y — 2x — 6 = y(x + 3) — 2(x + 3) = (x + 3)(y — 2). \)

Теперь перепишем выражение:

\( = \frac{x^2 + 9x + 18}{(x + 3)(y — 2)} — \frac{x + 5}{y — 2}. \)

Приводим дроби к общему знаменателю \( (x + 3)(y — 2) \):

\( = \frac{x^2 + 9x + 18 — (x + 5)(x + 3)}{(x + 3)(y — 2)}. \)

Теперь раскрываем скобки в числителе:

\( (x + 5)(x + 3) = x^2 + 8x + 15. \)

Таким образом, числитель становится:

\( x^2 + 9x + 18 — (x^2 + 8x + 15) = x^2 + 9x + 18 — x^2 — 8x — 15 = x + 3. \)

Теперь подставляем результат обратно:

\( = \frac{x + 3}{(x + 3)(y — 2)}. \)

Сокращаем на \( (x + 3) \), получаем:

\( = \frac{1}{y — 2}. \)