ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( \frac{a + 3}{a^2 — 3a} + \frac{a — 3}{3a + 9} + \frac{12}{9 — a^2} = \frac{a — 3}{3a} \)

2) \( \frac{b — 4}{2a — 1} — \frac{b^2 — 2b — 24}{2ab — 4 — b + 8a} = \frac{2}{2a — 1} \)

3) \( \frac{1}{a^2 + 12a + 36} + \frac{2}{36 — a^2} + \frac{1}{a^2 — 12a + 36} = \frac{144}{(a^2 — 36)^2} \)

1) \( \frac{a + 3}{a^2 — 3a} + \frac{a — 3}{3a + 9} + \frac{12}{9 — a^2} = \frac{a — 3}{3a} \)
\( \frac{a + 3}{a(a — 3)} + \frac{a — 3}{3(a + 3)} — \frac{12}{(a — 3)(a + 3)} = \frac{a — 3}{3a} \)
\( \frac{3(a + 3)^2 + a(a — 3)^2 — 12 \cdot 3a}{3a(a — 3)(a + 3)} = \frac{a — 3}{3a} \)
\( \frac{3(a^2 + 6a + 9) + a(a^2 — 6a + 9) — 36a}{3a(a — 3)(a + 3)} = \frac{a — 3}{3a} \)
\( \frac{3a^2 + 18a + 27 + a^3 — 6a^2 + 9a — 36a}{3a(a — 3)(a + 3)} = \frac{a — 3}{3a} \)
\( \frac{a^3 — 3a^2 — 9a + 27}{3a(a — 3)(a + 3)} = \frac{a — 3}{3a} \)
\( \frac{a^2(a — 3) — 9(a — 3)}{3a(a — 3)(a + 3)} = \frac{a — 3}{3a} \)
\( \frac{(a — 3)(a^2 — 9)}{3a(a — 3)(a + 3)} = \frac{a — 3}{3a} \)
\( \frac{(a — 3)(a — 3)(a + 3)}{3a(a — 3)(a + 3)} = \frac{a — 3}{3a} \)
\( \frac{a — 3}{3a} = \frac{a — 3}{3a} \Rightarrow \) что и требовалось доказать.

2) \( \frac{b — 4}{2a — 1} — \frac{b^2 — 2b — 24}{2ab — 4 — b + 8a} = \frac{2}{2a — 1} \)
\( \frac{b — 4}{2a — 1} — \frac{b^2 — 2b — 24}{(2a — 1)(b + 4)} = \frac{2}{2a — 1} \)
\( \frac{(b — 4)(b + 4) — (b^2 — 2b — 24)}{(2a — 1)(b + 4)} = \frac{2}{2a — 1} \)
\( \frac{b^2 — 16 — b^2 + 2b + 24}{(2a — 1)(b + 4)} = \frac{2}{2a — 1} \)
\( \frac{2b + 8}{(2a — 1)(b + 4)} = \frac{2}{2a — 1} \)
\( \frac{2(b + 4)}{(2a — 1)(b + 4)} = \frac{2}{2a — 1} \)
\( \frac{2}{2a — 1} = \frac{2}{2a — 1} \Rightarrow \) что и требовалось доказать.

3) \( \frac{1}{a^2 + 12a + 36} + \frac{2}{36 — a^2} + \frac{1}{a^2 — 12a + 36} = \frac{144}{(a^2 — 36)^2} \)
\( \frac{1}{(a + 6)^2} — \frac{2}{(a — 6)(a + 6)} + \frac{1}{(a — 6)^2} = \frac{144}{(a^2 — 36)^2} \)
\( \frac{(a — 6)^2 — 2(a — 6)(a + 6) + (a + 6)^2}{(a — 6)^2(a + 6)^2} = \frac{144}{(a^2 — 36)^2} \)
\( \frac{a^2 — 12a + 36 — 2(a^2 — 36) + a^2 + 12a + 36}{(a^2 — 36)^2} = \frac{144}{(a^2 — 36)^2} \)
\( \frac{2a^2 + 72 — 2a^2 + 72}{(a^2 — 36)^2} = \frac{144}{(a^2 — 36)^2} \)
\( \frac{144}{(a^2 — 36)^2} = \frac{144}{(a^2 — 36)^2} \Rightarrow \) что и требовалось доказать.

1) Докажем тождество \( \frac{a + 3}{a^2 — 3a} + \frac{a — 3}{3a + 9} + \frac{12}{9 — a^2} = \frac{a — 3}{3a} \).

Для начала, факторизуем все знаменатели:

\( a^2 — 3a = a(a — 3) \), \( 3a + 9 = 3(a + 3) \), и \( 9 — a^2 = (3 — a)(3 + a) = -(a — 3)(a + 3) \).

Теперь перепишем исходное выражение с этими фактами:

\( \frac{a + 3}{a(a — 3)} + \frac{a — 3}{3(a + 3)} + \frac{12}{-(a — 3)(a + 3)} = \frac{a — 3}{3a}. \)

Приводим дроби к общему знаменателю \( 3a(a — 3)(a + 3) \). Для этого умножаем первую дробь на \( 3(a + 3) \), вторую на \( a \), а третью на \( 3a \):

\( = \frac{3(a + 3)^2}{3a(a — 3)(a + 3)} + \frac{a(a — 3)^2}{3a(a — 3)(a + 3)} — \frac{36a}{3a(a — 3)(a + 3)}. \)

Теперь раскрываем скобки в числителях:

Для первой дроби: \( 3(a + 3)^2 = 3(a^2 + 6a + 9) = 3a^2 + 18a + 27. \)

Для второй дроби: \( a(a — 3)^2 = a(a^2 — 6a + 9) = a^3 — 6a^2 + 9a. \)

Теперь числитель становится:

\( (3a^2 + 18a + 27) + (a^3 — 6a^2 + 9a) — 36a = a^3 — 3a^2 — 9a + 27. \)

Таким образом, мы получаем дробь:

\( \frac{a^3 — 3a^2 — 9a + 27}{3a(a — 3)(a + 3)}. \)

Теперь можно вынести \( (a — 3) \) из числителя:

\( \frac{(a — 3)(a^2 — 9)}{3a(a — 3)(a + 3)}. \)

После сокращения на \( (a — 3) \) остается:

\( \frac{a^2 — 9}{3a(a + 3)}. \)

Теперь числитель можно записать как \( (a — 3)(a + 3) \), и после сокращения мы получаем:

\( \frac{a — 3}{3a}. \)

Что и требовалось доказать.

2) Докажем тождество \( \frac{b — 4}{2a — 1} — \frac{b^2 — 2b — 24}{2ab — 4 — b + 8a} = \frac{2}{2a — 1} \).

Приводим второй знаменатель к более удобной форме. Перепишем выражение для второго дроби:

\( 2ab — 4 — b + 8a = (2a — 1)(b + 4). \)

Теперь перепишем исходное выражение:

\( \frac{b — 4}{2a — 1} — \frac{b^2 — 2b — 24}{(2a — 1)(b + 4)} = \frac{2}{2a — 1}. \)

Приводим дроби к общему знаменателю \( (2a — 1)(b + 4) \):

\( = \frac{(b — 4)(b + 4) — (b^2 — 2b — 24)}{(2a — 1)(b + 4)}. \)

Теперь раскрываем скобки в числителе:

\( (b — 4)(b + 4) = b^2 — 16, \quad (b^2 — 2b — 24) = b^2 — 2b — 24. \)

Таким образом, числитель будет:

\( b^2 — 16 — b^2 + 2b + 24 = 2b + 8. \)

Теперь получаем дробь:

\( \frac{2b + 8}{(2a — 1)(b + 4)}. \)

Можно вынести общий множитель 2 из числителя:

\( = \frac{2(b + 4)}{(2a — 1)(b + 4)}. \)

Теперь сокращаем на \( (b + 4) \), и остается:

\( = \frac{2}{2a — 1}. \)

Что и требовалось доказать.

3) Докажем тождество \( \frac{1}{a^2 + 12a + 36} + \frac{2}{36 — a^2} + \frac{1}{a^2 — 12a + 36} = \frac{144}{(a^2 — 36)^2} \).

Факторизуем все квадраты в выражении:

\( a^2 + 12a + 36 = (a + 6)^2, \quad 36 — a^2 = (6 — a)(6 + a),\)

\(a^2 — 12a + 36 = (a — 6)^2. \)

Теперь перепишем выражение:

\( \frac{1}{(a + 6)^2} — \frac{2}{(a — 6)(a + 6)} + \frac{1}{(a — 6)^2} = \frac{144}{(a^2 — 36)^2}. \)

Приводим все дроби к общему знаменателю \( (a — 6)^2(a + 6)^2 \):

\( = \frac{(a — 6)^2 — 2(a — 6)(a + 6) + (a + 6)^2}{(a — 6)^2(a + 6)^2}. \)

Теперь раскрываем скобки в числителе:

\( (a — 6)^2 = a^2 — 12a + 36, \quad (a + 6)^2 = a^2 + 12a + 36,\)

\(2(a — 6)(a + 6) = 2(a^2 — 36). \)

Теперь числитель станет:

\( a^2 — 12a + 36 — 2(a^2 — 36) + a^2 + 12a + 36 = 2a^2 + 72 — 2a^2 + 72 = 144. \)

Таким образом, мы получаем дробь:

\( \frac{144}{(a^2 — 36)^2}. \)

Что и требовалось доказать.