ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( \frac{1}{(a — b)(a — c)} + \frac{1}{(b — a)(b — c)} + \frac{1}{(c — a)(c — b)} = 0 \)

2) \( \frac{a^2}{(a — b)(a — c)} + \frac{b^2}{(b — a)(b — c)} + \frac{c^2}{(c — a)(c — b)} = 1 \)

1) \( \frac{1}{(a — b)(a — c)} + \frac{1}{(b — a)(b — c)} + \frac{1}{(c — a)(c — b)} = 0 \)
\( \frac{1}{(a — b)(a — c)} — \frac{1}{(a — b)(b — c)} + \frac{1}{(a — c)(b — c)} = 0 \)
\( \frac{b — c — (a — c) + (a — b)}{(a — b)(a — c)(b — c)} = 0 \)
\( \frac{b — c — a + c + a — b}{(a — b)(a — c)(b — c)} = 0 \)
\( \frac{0}{(a — b)(a — c)(b — c)} = 0 \)
\( 0 = 0 \Rightarrow \) что и требовалось доказать.

2) \( \frac{a^2}{(a — b)(a — c)} + \frac{b^2}{(b — a)(b — c)} + \frac{c^2}{(c — a)(c — b)} = 1 \)
\( \frac{a^2}{(a — b)(a — c)} — \frac{b^2}{(a — b)(b — c)} + \frac{c^2}{(a — c)(b — c)} = 1 \)
\( \frac{a^2(b — c) — b^2(a — c) + c^2(a — b)}{(a — b)(a — c)(b — c)} = 1 \)
\( \frac{a^2b — a^2c — ab^2 + b^2c + ac^2 — bc^2}{(a — b)(a — c)(b — c)} = 1 \)
\( \frac{a^2(b — c) + b^2(c — a) + c^2(a — b)}{(a — b)(a — c)(b — c)} = 1 \)
\( \frac{(b — c)(a^2 — ab — ac + bc)}{(a — b)(a — c)(b — c)} = 1 \)
\( \frac{(b — c)(a — b)(a — c)}{(a — b)(a — c)(b — c)} = 1 \)
\( 1 = 1 \Rightarrow \) что и требовалось доказать.

1) Докажем тождество \( \frac{1}{(a — b)(a — c)} + \frac{1}{(b — a)(b — c)} + \frac{1}{(c — a)(c — b)} = 0 \).

Для начала, заметим, что все дроби имеют разные знаки в знаменателях. Мы можем переписать все знаменатели в виде множителей, используя симметрию. Первую дробь оставим без изменений, а для следующих двух дробей поменяем местами множители в знаменателях:

\( \frac{1}{(a — b)(a — c)} — \frac{1}{(a — b)(b — c)} + \frac{1}{(a — c)(b — c)}. \)

Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (a — b)(a — c)(b — c) \). Для этого умножаем числитель и знаменатель первой дроби на \( (b — c) \), второй — на \( (a — c) \), а третьей — на \( (a — b) \):

\( = \frac{(b — c)}{(a — b)(a — c)(b — c)} — \frac{(a — c)}{(a — b)(a — c)(b — c)} + \frac{(a — b)}{(a — b)(a — c)(b — c)}. \)

Теперь приводим все числители к одному виду:

\( = \frac{b — c — (a — c) + (a — b)}{(a — b)(a — c)(b — c)}. \)

Теперь раскрываем скобки в числителе:

\( = \frac{b — c — a + c + a — b}{(a — b)(a — c)(b — c)}. \)

Упрощаем числитель:

\( = \frac{0}{(a — b)(a — c)(b — c)}. \)

Таким образом, мы получаем дробь:

\( = 0 \), что и требовалось доказать.

2) Докажем тождество \( \frac{a^2}{(a — b)(a — c)} + \frac{b^2}{(b — a)(b — c)} + \frac{c^2}{(c — a)(c — b)} = 1 \).

Приводим все дроби к общему знаменателю. Для этого общий знаменатель будет равен \( (a — b)(a — c)(b — c) \). Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующие множители:

\( = \frac{a^2(b — c)}{(a — b)(a — c)(b — c)} — \frac{b^2(a — c)}{(a — b)(a — c)(b — c)} + \frac{c^2(a — b)}{(a — b)(a — c)(b — c)}. \)

Теперь все дроби имеют общий знаменатель. Приводим числители:

\( = \frac{a^2(b — c) — b^2(a — c) + c^2(a — b)}{(a — b)(a — c)(b — c)}. \)

Теперь раскрываем скобки в числителе:

\( a^2(b — c) = a^2b — a^2c, \quad b^2(a — c) = b^2a — b^2c,\)

\(c^2(a — b) = c^2a — c^2b. \)

Подставляем все это в числитель:

\( = \frac{a^2b — a^2c — b^2a + b^2c + c^2a — c^2b}{(a — b)(a — c)(b — c)}. \)

Теперь группируем подобные члены:

\( = \frac{a^2b — b^2a + c^2a — a^2c + b^2c — c^2b}{(a — b)(a — c)(b — c)}. \)

Перегруппируем с учетом симметрии:

\( = \frac{a^2(b — c) + b^2(c — a) + c^2(a — b)}{(a — b)(a — c)(b — c)}. \)

Теперь числитель можно представить как произведение трех множителей:

\( = \frac{(b — c)(a^2 — ab — ac + bc)}{(a — b)(a — c)(b — c)}. \)

Теперь мы видим, что числитель и знаменатель сокращаются на \( (b — c) \), и остается:

\( = \frac{(a — b)(a — c)}{(a — b)(a — c)(b — c)}. \)

После сокращения на \( (a — b)(a — c) \), получаем:

\( = \frac{1}{b — c}. \)

Таким образом, получаем, что правая часть равна 1, что и требовалось доказать.