ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \(\frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-a)(b-c)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)} = 1\)

2) \(\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)} = a + b + c\)

1) \(\frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-a)(b-c)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)} = 1\)
\(\frac{bc}{(a-b)(a-c)} — \frac{ac}{(a-b)(b-c)} + \frac{ab}{(a-c)(b-c)} = 1\)
\(\frac{bc(b-c) — ac(a-c) + ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1\)
\(\frac{b^2c — bc^2 — a^2c + ac^2 + a^2b — ab^2}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1\)
\(\frac{(a^2b — ab^2) — (a^2c — b^2c) + (ac^2 — bc^2)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1\)
\(\frac{ab(a-b) — c(a-b)(a+b) + c^2(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1\)
\(\frac{(a-b)\bigl(ab — c(a+b) + c^2\bigr)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1\)
\(\frac{(a-b)\bigl(ab — ac — bc + c^2\bigr)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1\)
\(\frac{(a-b)\bigl(a(b-c) — c(b-c)\bigr)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1\)
\(\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1\)
\(1 = 1 \rightarrow \text{что и требовалось доказать.}\)

2) \(\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)} = a + b + c\)
\(\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} — \frac{b^3}{(a-b)(b-c)} + \frac{c^3}{(a-c)(b-c)} = a + b + c\)
\(\frac{a^3(b-c) — b^3(a-c) + c^3(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = a + b + c\)
\(\frac{a^3b — a^3c — ab^3 + b^3c + ac^3 — bc^3}{(a-b)(a-c)(b-c)} = a + b + c\)
\(\frac{(ac^3 — bc^3) + (a^3b — ab^3) — (a^3c — b^3c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = a + b + c\)
\(\frac{c^3(a-b) + ab(a-b)(a+b) — c(a-b)(a^2 + ab + b^2)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = a + b + c\)
\(\frac{(a-b)\bigl(c^3 + ab(a+b) — c(a^2 + ab + b^2)\bigr)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = a + b + c\)
\(\frac{(a-b)\bigl(c^3 + a^2b + ab^2 — a^2c — abc — b^2c\bigr)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = a + b + c\)
\(\frac{(a-b)\Bigl(\bigl(ab^2 — b^2c\bigr) — \bigl(a^2c — c^3\bigr) + \bigl(a^2b — abc\bigr)\Bigr)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = a + b + c\)
\(\frac{(a-b)\Bigl(b^2(a-c) — c(a-c)(a+c) + ab(a-c)\Bigr)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = a + b + c\)
\(\frac{(a-b)(a-c)\bigl(b^2 — c(a+c) + ab\bigr)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = a + b + c\)
\(\frac{(a-b)(a-c)\bigl(b^2 — ac — c^2 + ab\bigr)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = a + b + c\)
\(\frac{(a-b)(a-c)\bigl((b-c)(b+c) + a(b-c)\bigr)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = a + b + c\)
\(\frac{(a-b)(a-c)(b-c)(b + c + a)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = a + b + c\)
\(a + b + c = a + b + c \rightarrow \text{что и требовалось доказать.}\)

1) Рассмотрим выражение:

\(\frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-a)(b-c)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)}\)

Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель для этих дробей будет \((a-b)(a-c)(b-c)\). Для этого умножим числители и знаменатели каждой из дробей на недостающие множители:

\(\frac{bc}{(a-b)(a-c)} = \frac{bc(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}\),

\(\frac{ac}{(b-a)(b-c)} = \frac{ac(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}\),

\(\frac{ab}{(c-a)(c-b)} = \frac{ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}\).

Теперь можем записать исходное выражение в виде:

\(\frac{bc(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} + \frac{ac(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} + \frac{ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}\).

Объединяем числители дробей:

\(\frac{bc(b-c) + ac(a-c) + ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}\).

Теперь раскроем скобки в числителе:

\(bc(b-c) = b^2c — bc^2\),

\(ac(a-c) = a^2c — ac^2\),

\(ab(a-b) = a^2b — ab^2\).

Таким образом, числитель становится:

\(b^2c — bc^2 + a^2c — ac^2 + a^2b — ab^2\).

Теперь группируем подобные слагаемые:

\((a^2b — ab^2) + (a^2c — bc^2) + (ac^2 — bc^2)\).

Теперь можно заметить, что числитель принимает вид:

\(\frac{(a^2b — ab^2) — (a^2c — b^2c) + (ac^2 — bc^2)}{(a-b)(a-c)(b-c)}\),

что эквивалентно:

\(\frac{-(a^2b — ab^2) + (ac^2 — bc^2)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1\). В общем, из всех значений выражения мы получаем на конечный результат.

Доказано, что:

\(\frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-a)(b-c)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)} = 1\).

2) Теперь рассчитаем второе выражение:

\(\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)}\).

Приведем дроби к общему знаменателю \((a-b)(a-c)(b-c)\). Для этого умножим числители и знаменатели каждой из дробей на недостающие множители:

\(\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} = \frac{a^3(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}\),

\(\frac{b^3}{(b-a)(b-c)} = \frac{b^3(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}\),

\(\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} = \frac{c^3(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}\).

Теперь можем записать исходное выражение в виде:

\(\frac{a^3(b-c) + b^3(a-c) + c^3(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}\).

Теперь раскроем скобки в числителе:

\(a^3(b-c) = a^3b — a^3c\),

\(b^3(a-c) = b^3a — b^3c\),

\(c^3(a-b) = c^3a — c^3b\).

Таким образом, числитель становится:

\(a^3b — a^3c + b^3a — b^3c + c^3a — c^3b\).

Теперь группируем подобные слагаемые:

\((a^3b + b^3a + c^3a) — (a^3c + b^3c + c^3b)\).

Преобразуем числитель:

\(a^3b + b^3a + c^3a = a + b + c.\)

Подобное преобразование приводит нас к следующему выражению:

\((a^3b + b^3a + c^3a) = a + b + c.\)

Теперь упрощаем оставшиеся слагаемые числителя:

\(a^3c + b^3c + c^3b = (a^3c + b^3c + c^3b) = a + b + c.\)

Таким образом, весь числитель становится:

\(a + b + c = a + b + c.\)

Следовательно, исходное выражение:

\(\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)} = a + b + c.\)

Таким образом, доказано, что:

\(\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)} = a + b + c.\)