Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство \(\frac{2n+1}{n^2 (n+1)^2} = \frac{1}{n^2} — \frac{1}{(n+1)^2}\). Воспользовавшись этим равенством, найдите значение суммы:
\(\frac{3}{1^2 \cdot 2^2} + \frac{5}{2^2 \cdot 3^2} + \frac{7}{3^2 \cdot 4^2} + \frac{9}{4^2 \cdot 5^2} + \frac{11}{5^2 \cdot 6^2} .\)
Докажем:
\(\frac{2n + 1}{n^2(n + 1)^2} = \frac{1}{n^2} — \frac{1}{(n + 1)^2}\)
\(\frac{2n + 1}{n^2(n + 1)^2} = \frac{(n + 1)^2 — n^2}{n^2(n + 1)^2}\)
\(\frac{2n + 1}{n^2(n + 1)^2} = \frac{n^2 + 2n + 1 — n^2}{n^2(n + 1)^2}\)
\(\frac{2n + 1}{n^2(n + 1)^2} = \frac{2n + 1}{n^2(n + 1)^2} \rightarrow \text{что и требовалось доказать.}\)
Тогда:
\(\frac{3}{1^2 \cdot 2^2} + \frac{5}{2^2 \cdot 3^2} + \frac{7}{3^2 \cdot 4^2} + \frac{9}{4^2 \cdot 5^2} + \frac{11}{5^2 \cdot 6^2} =\)
\(= \left(\frac{1}{1^2} — \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{1}{2^2} — \frac{1}{3^2}\right) + \left(\frac{1}{3^2} — \frac{1}{4^2}\right) + \left(\frac{1}{4^2} — \frac{1}{5^2}\right) + \left(\frac{1}{5^2} — \frac{1}{6^2}\right) =\)
\(= \frac{1}{1^2} — \frac{1}{6^2} = \frac{36 — 1}{1^2 \cdot 6^2} = \frac{35}{36}.\)
Ответ: \(\frac{35}{36}\).
Докажем, что при любом натуральном \(n\) выполняется равенство:
\(\frac{2n+1}{n^2 (n+1)^2} = \frac{1}{n^2} — \frac{1}{(n+1)^2}\).
Для начала преобразуем правую часть уравнения:
\(\frac{1}{n^2} — \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{(n+1)^2 — n^2}{n^2 (n+1)^2}\).
Теперь раскроем скобки в числителе:
\((n+1)^2 = n^2 + 2n + 1\),
так что:
\((n+1)^2 — n^2 = (n^2 + 2n + 1) — n^2 = 2n + 1\).
Теперь подставим это в выражение:
\(\frac{(n+1)^2 — n^2}{n^2 (n+1)^2} = \frac{2n + 1}{n^2 (n+1)^2}\).
Таким образом, мы получаем:
\(\frac{2n+1}{n^2 (n+1)^2} = \frac{1}{n^2} — \frac{1}{(n+1)^2}\),
что и требовалось доказать.
Теперь воспользуемся этим равенством для нахождения значения суммы:
\(\frac{3}{1^2 \cdot 2^2} + \frac{5}{2^2 \cdot 3^2} + \frac{7}{3^2 \cdot 4^2} + \frac{9}{4^2 \cdot 5^2} + \frac{11}{5^2 \cdot 6^2}\).
Каждое слагаемое в этой сумме можно представить в виде разности:
\(\frac{3}{1^2 \cdot 2^2} = \frac{1}{1^2} — \frac{1}{2^2},\)
\(\frac{5}{2^2 \cdot 3^2} = \frac{1}{2^2} — \frac{1}{3^2},\)
\(\frac{7}{3^2 \cdot 4^2} = \frac{1}{3^2} — \frac{1}{4^2},\)
\(\frac{9}{4^2 \cdot 5^2} = \frac{1}{4^2} — \frac{1}{5^2},\)
\(\frac{11}{5^2 \cdot 6^2} = \frac{1}{5^2} — \frac{1}{6^2}.\)
Теперь подставим эти выражения в исходную сумму:
\(\left(\frac{1}{1^2} — \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{1}{2^2} — \frac{1}{3^2}\right) + \left(\frac{1}{3^2} — \frac{1}{4^2}\right) + \left(\frac{1}{4^2} — \frac{1}{5^2}\right) + \left(\frac{1}{5^2} — \frac{1}{6^2}\right).\)
Как видим, большинство членов взаимно сокращаются, и остается только:
\(\frac{1}{1^2} — \frac{1}{6^2}.\)
Вычитаем дроби:
\(\frac{1}{1^2} — \frac{1}{6^2} = \frac{1}{1} — \frac{1}{36} = \frac{36}{36} — \frac{1}{36} = \frac{35}{36}.\)
Таким образом, значение суммы:
\(\frac{3}{1^2 \cdot 2^2} + \frac{5}{2^2 \cdot 3^2} + \frac{7}{3^2 \cdot 4^2} + \frac{9}{4^2 \cdot 5^2} + \frac{11}{5^2 \cdot 6^2} = \frac{35}{36}.\)
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!