Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство:
\(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{(n-1) \cdot n} = 1 — \frac{1}{n}.\)
\(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{(n-1) \cdot n} = 1 — \frac{1}{n}.\)
Воспользовавшись доказательством из задачи 37.25, запишем:
\(\left(\frac{1}{1} — \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} — \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1} — \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{1} — \frac{1}{n} = 1 — \frac{1}{n}.\)
Следовательно,
\(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{(n-1) \cdot n} = 1 — \frac{1}{n}\) при любом натуральном \(n\).
Что и требовалось доказать.
Докажем, что при любом натуральном \(n\) выполняется равенство:
\(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{(n-1) \cdot n} = 1 — \frac{1}{n}.\)
Для этого рассмотрим общий член суммы \(\frac{1}{k(k+1)}\), где \(k\) — натуральное число, которое изменяется от 1 до \(n-1\). Мы можем разложить этот член на два простых дроби:
\(\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} — \frac{1}{k+1}.\)
Это стандартное разложение на разность, которое можно проверить, приводя дроби к общему знаменателю:
\(\frac{1}{k} — \frac{1}{k+1} = \frac{(k+1) — k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}.\)
Теперь подставим это разложение в исходную сумму:
\(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{(n-1) \cdot n} = \left(\frac{1}{1} — \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} — \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1} — \frac{1}{n}\right).\)
Обратите внимание, что эта сумма является телескопической: каждый следующий член будет отменять предыдущий. В результате всех сокращений остаются только первые и последние элементы:
\(\frac{1}{1} — \frac{1}{n}.\)
Таким образом, исходная сумма сводится к:
\(\frac{1}{1} — \frac{1}{n} = 1 — \frac{1}{n}.\)
Мы доказали, что:
\(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{(n-1) \cdot n} = 1 — \frac{1}{n}\) для любого натурального \(n\).
Что и требовалось доказать.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!