ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(\frac{1}{(a-1)(a-2)} + \frac{1}{(a-2)(a-3)} + \frac{1}{(a-3)(a-4)}\)

2) \(\frac{1}{a(a+3)} + \frac{1}{(a+3)(a+6)} + \frac{1}{(a+6)(a+9)} + \frac{1}{(a+9)(a+12)}\)

1) \(\frac{1}{(a-1)(a-2)} + \frac{1}{(a-2)(a-3)} + \frac{1}{(a-3)(a-4)}.\)

Так как

\(\frac{1}{(a-1)(a-2)} = \frac{1}{a-2} — \frac{1}{a-1},\)

\(\frac{1}{(a-2)(a-3)} = \frac{1}{a-3} — \frac{1}{a-2},\)

\(\frac{1}{(a-3)(a-4)} = \frac{1}{a-4} — \frac{1}{a-3},\)

то:

\(\left(\frac{1}{a-2} — \frac{1}{a-1}\right) + \left(\frac{1}{a-3} — \frac{1}{a-2}\right) + \left(\frac{1}{a-4} — \frac{1}{a-3}\right) =\)

\(= -\frac{1}{a-1} + \frac{1}{a-4} = \frac{1}{a-4} — \frac{1}{a-1} = \frac{a-1 — a + 4}{(a-1)(a-4)} = \frac{3}{(a-1)(a-4)}.\)

2) \(\frac{1}{a(a+3)} + \frac{1}{(a+3)(a+6)} + \frac{1}{(a+6)(a+9)} + \frac{1}{(a+9)(a+12)}.\)

Так как

\(\frac{1}{a(a+3)} = \frac{1}{a+3} — \frac{1}{a},\)

\(\frac{1}{(a+3)(a+6)} = \frac{1}{a+6} — \frac{1}{a+3},\)

\(\frac{1}{(a+6)(a+9)} = \frac{1}{a+9} — \frac{1}{a+6},\)

\(\frac{1}{(a+9)(a+12)} = \frac{1}{a+12} — \frac{1}{a+9},\)

то:

\(\frac{1}{3} \left( \left(\frac{1}{a+3} — \frac{1}{a}\right) + \left(\frac{1}{a+6} — \frac{1}{a+3}\right) + \left(\frac{1}{a+9} — \frac{1}{a+6}\right) + \left(\frac{1}{a+12} — \frac{1}{a+9}\right) \right) =\)

\(= \frac{1}{3} \cdot \left( -\frac{1}{a} + \frac{1}{a+12} \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{a+12} — \frac{1}{a} \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{a +12 — a}{a(a+12)} \right) =\)

\(= \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{a(a+12)} = \frac{4}{a(a+12)}.\)

1) Упростим выражение:

\(\frac{1}{(a-1)(a-2)} + \frac{1}{(a-2)(a-3)} + \frac{1}{(a-3)(a-4)}.\)

Для того чтобы упростить выражение, мы разложим каждый член на разности дробей:

\(\frac{1}{(a-1)(a-2)} = \frac{1}{a-2} — \frac{1}{a-1},\)

\(\frac{1}{(a-2)(a-3)} = \frac{1}{a-3} — \frac{1}{a-2},\)

\(\frac{1}{(a-3)(a-4)} = \frac{1}{a-4} — \frac{1}{a-3}.\)

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:

\(\left( \frac{1}{a-2} — \frac{1}{a-1} \right) + \left( \frac{1}{a-3} — \frac{1}{a-2} \right) + \left( \frac{1}{a-4} — \frac{1}{a-3} \right).\)

Теперь сгруппируем все слагаемые, имеющие одинаковые знаменатели:

\(\frac{1}{a-2} — \frac{1}{a-2} = 0,\)

\(\frac{1}{a-3} — \frac{1}{a-3} = 0.\)

После сокращения остаются только:

\(- \frac{1}{a-1} + \frac{1}{a-4} = \frac{1}{a-4} — \frac{1}{a-1}.\)

Теперь можно привести к общему знаменателю:

\(\frac{1}{a-4} — \frac{1}{a-1} = \frac{(a-1) — (a-4)}{(a-1)(a-4)} = \frac{a — 1 — a + 4}{(a-1)(a-4)} = \frac{3}{(a-1)(a-4)}.\)

Ответ для первого выражения:

\(\frac{3}{(a-1)(a-4)}.\)

2) Упростим выражение:

\(\frac{1}{a(a+3)} + \frac{1}{(a+3)(a+6)} + \frac{1}{(a+6)(a+9)} + \frac{1}{(a+9)(a+12)}.\)

Каждую дробь можно разложить на разность дробей:

\(\frac{1}{a(a+3)} = \frac{1}{a+3} — \frac{1}{a},\)

\(\frac{1}{(a+3)(a+6)} = \frac{1}{a+6} — \frac{1}{a+3},\)

\(\frac{1}{(a+6)(a+9)} = \frac{1}{a+9} — \frac{1}{a+6},\)

\(\frac{1}{(a+9)(a+12)} = \frac{1}{a+12} — \frac{1}{a+9}.\)

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:

\(\left( \frac{1}{a+3} — \frac{1}{a} \right) + \left( \frac{1}{a+6} — \frac{1}{a+3} \right) + \left( \frac{1}{a+9} — \frac{1}{a+6} \right) + \left( \frac{1}{a+12} — \frac{1}{a+9} \right).\)

Теперь сгруппируем все слагаемые, имеющие одинаковые знаменатели:

\(\frac{1}{a+3} — \frac{1}{a+3} = 0,\)

\(\frac{1}{a+6} — \frac{1}{a+6} = 0,\)

\(\frac{1}{a+9} — \frac{1}{a+9} = 0.\)

После сокращения остаются только:

\(- \frac{1}{a} + \frac{1}{a+12}.\)

Теперь можно привести к общему знаменателю:

\(\frac{1}{a+12} — \frac{1}{a} = \frac{a — (a+12)}{a(a+12)} = \frac{a — a + 12}{a(a+12)} = \frac{12}{a(a+12)}.\)

Теперь умножим на \(\frac{1}{3}\), так как перед выражением была множитель \(\frac{1}{3}\):

\(\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{a(a+12)} = \frac{-2}{3a(a+12)} = \frac{4}{a(a+12)}.\)

Ответ для второго выражения:

\(\frac{4}{a(a+12)}.\)