ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

\(\frac{2}{x^{2}-1}+\frac{4}{x^{2}-4}+\frac{6}{x^{2}-9}+\frac{8}{x^{2}-16}=\)

\(=5\left(\frac{1}{(x-1)(x+4)}+\frac{1}{(x-2)(x+3)}+\frac{1}{(x-3)(x+2)}+\frac{1}{(x-4)(x+1)}\right).\)

\(\frac{2}{x^{2}-1}+\frac{4}{x^{2}-4}+\frac{6}{x^{2}-9}+\frac{8}{x^{2}-16}=\)

\(=5\left(\frac{1}{(x-1)(x+4)}+\frac{1}{(x-2)(x+3)}+\frac{1}{(x-3)(x+2)}+\frac{1}{(x-4)(x+1)}\right).\)

Преобразуем левую часть равенства:

\(\frac{2}{x^{2}-1}+\frac{4}{x^{2}-4}+\frac{6}{x^{2}-9}+\frac{8}{x^{2}-16} = \frac{2}{(x-1)(x+1)}+\)

\(+\frac{4}{(x-2)(x+2)}+\frac{6}{(x-3)(x+3)}+\frac{8}{(x-4)(x+4)}=\)

\(=\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)+\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)+\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}\right) +\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+4}\right)=\)

\(= \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+4}\right)+\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}\right)+\)

\(+\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}\right)+\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+1}\right)= \frac{5}{(x-1)(x+4)}+\)

\(+\frac{5}{(x-2)(x+3)}+\frac{5}{(x-3)(x+2)}+\frac{5}{(x-4)(x+1)}=\)

\(=5\left(\frac{1}{(x-1)(x+4)}+\frac{1}{(x-2)(x+3)}+\frac{1}{(x-3)(x+2)}+\frac{1}{(x-4)(x+1)}\right).\)

Тождество доказано.

Дано тождество:

\(\frac{2}{x^{2}-1}+\frac{4}{x^{2}-4}+\frac{6}{x^{2}-9}+\frac{8}{x^{2}-16}=\)

\(=5\left(\frac{1}{(x-1)(x+4)}+\frac{1}{(x-2)(x+3)}+\frac{1}{(x-3)(x+2)}+\frac{1}{(x-4)(x+1)}\right).\)

Преобразуем левую часть равенства поэтапно.

1. Первоначальные дроби:

\(\frac{2}{x^{2}-1}\), \(\frac{4}{x^{2}-4}\), \(\frac{6}{x^{2}-9}\), \(\frac{8}{x^{2}-16}\).

2. Раскладываем знаменатели на множители:

\(x^{2}-1 = (x-1)(x+1)\)

\(x^{2}-4 = (x-2)(x+2)\)

\(x^{2}-9 = (x-3)(x+3)\)

\(x^{2}-16 = (x-4)(x+4)\)

Заменяем дроби, используя разложенные выражения:

\(\frac{2}{(x-1)(x+1)}\), \(\frac{4}{(x-2)(x+2)}\), \(\frac{6}{(x-3)(x+3)}\), \(\frac{8}{(x-4)(x+4)}\).

3. Представляем каждый член в виде разности дробей:

\(\frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1} — \frac{1}{x+1}\)

\(\frac{4}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x-2} — \frac{1}{x+2}\)

\(\frac{6}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{x-3} — \frac{1}{x+3}\)

\(\frac{8}{(x-4)(x+4)} = \frac{1}{x-4} — \frac{1}{x+4}\)

4. Теперь записываем сумму этих разностей:

\(\left(\frac{1}{x-1} — \frac{1}{x+1}\right) + \left(\frac{1}{x-2} — \frac{1}{x+2}\right) + \left(\frac{1}{x-3} — \frac{1}{x+3}\right) + \left(\frac{1}{x-4} — \frac{1}{x+4}\right)\)

5. Сгруппируем аналогичные дроби для удобства:

\(\left(\frac{1}{x-1} — \frac{1}{x+4}\right) + \left(\frac{1}{x-2} — \frac{1}{x+3}\right) + \left(\frac{1}{x-3} — \frac{1}{x+2}\right) + \left(\frac{1}{x-4} — \frac{1}{x+1}\right)\)

6. Приводим все дроби к общему знаменателю:

Каждая пара дробей имеет общий знаменатель в виде произведения двух линейных множителей. Например, для первой пары \(\frac{1}{x-1}\) и \(\frac{1}{x+4}\) общий знаменатель — это \((x-1)(x+4)\), для второй пары \(\frac{1}{x-2}\) и \(\frac{1}{x+3}\) — \((x-2)(x+3)\) и так далее.

7. Подставляем значения и упрощаем:

\(\frac{1}{(x-1)(x+4)} + \frac{1}{(x-2)(x+3)} + \frac{1}{(x-3)(x+2)} + \frac{1}{(x-4)(x+1)}\).

8. Теперь умножаем все на 5:

\(5\left(\frac{1}{(x-1)(x+4)} + \frac{1}{(x-2)(x+3)} + \frac{1}{(x-3)(x+2)} + \frac{1}{(x-4)(x+1)}\right)\).

Таким образом, мы доказали, что:

\(\frac{2}{x^{2}-1}+\frac{4}{x^{2}-4}+\frac{6}{x^{2}-9}+\frac{8}{x^{2}-16}=\)

\(=5\left(\frac{1}{(x-1)(x+4)}+\frac{1}{(x-2)(x+3)}+\frac{1}{(x-3)(x+2)}+\frac{1}{(x-4)(x+1)}\right).\)

Тождество доказано.