ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выполните действия:

1) \( \frac{m}{n} — \frac{m}{m + n} \)

2) \( \frac{a}{a — 3} — \frac{3}{a + 3} \)

3) \( \frac{c}{3c — 1} — \frac{c}{3c + 1} \)

4) \( \frac{x}{2y + 1} — \frac{x}{3y — 2} \)

1) \( \frac{m}{n} — \frac{m}{m + n} = \frac{m(m + n) — mn}{n(m + n)} = \frac{m^2 + mn — mn}{n(m + n)} = \frac{m^2}{n(m + n)}; \)

2) \( \frac{a}{a — 3} — \frac{3}{a + 3} = \frac{a(a + 3) — 3(a — 3)}{(a — 3)(a + 3)} = \frac{a^2 + 3a — 3a + 9}{a^2 — 9} = \frac{a^2 + 9}{a^2 — 9}; \)

3) \( \frac{c}{3c — 1} — \frac{c}{3c + 1} = \frac{c(3c + 1) — c(3c — 1)}{(3c — 1)(3c + 1)} = \)
\( = \frac{3c^2 + c — 3c^2 + c}{9c^2 — 1} = \frac{2c}{9c^2 — 1}; \)

4) \( \frac{x}{2y + 1} — \frac{x}{3y — 2} = \frac{x(3y — 2) — x(2y + 1)}{(2y + 1)(3y — 2)} = \)
\( = \frac{3xy — 2x — 2xy — x}{(2y + 1)(3y — 2)} = \frac{xy — 3x}{(2y + 1)(3y — 2)}. \)

1) \( \frac{m}{n} — \frac{m}{m + n} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \(n(m + n)\). Тогда перепишем дроби с этим знаменателем:

\( \frac{m}{n} = \frac{m(m + n)}{n(m + n)} \) и \( \frac{m}{m + n} = \frac{mn}{n(m + n)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{m}{n} — \frac{m}{m + n} = \frac{m(m + n)}{n(m + n)} — \frac{mn}{n(m + n)} = \frac{m(m + n) — mn}{n(m + n)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( m(m + n) = m^2 + mn \), и подставим это в выражение:

\( \frac{m(m + n) — mn}{n(m + n)} = \frac{m^2 + mn — mn}{n(m + n)}. \)

Упрощаем числитель:

\( m^2 + mn — mn = m^2 \), поэтому итоговое выражение:

\( \frac{m^2}{n(m + n)}. \)

2) \( \frac{a}{a — 3} — \frac{3}{a + 3} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель равен \( (a — 3)(a + 3) \), это разность квадратов, то есть \( a^2 — 9 \).

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{a}{a — 3} = \frac{a(a + 3)}{(a — 3)(a + 3)} \) и \( \frac{3}{a + 3} = \frac{3(a — 3)}{(a — 3)(a + 3)} \).

Выполним вычитание:

\( \frac{a}{a — 3} — \frac{3}{a + 3} = \frac{a(a + 3) — 3(a — 3)}{(a — 3)(a + 3)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( a(a + 3) = a^2 + 3a \), и \( 3(a — 3) = 3a — 9 \).

Подставим эти выражения в числитель:

\( a^2 + 3a — (3a — 9) = a^2 + 3a — 3a + 9 = a^2 + 9 \).

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{a^2 + 9}{a^2 — 9}. \)

3) \( \frac{c}{3c — 1} — \frac{c}{3c + 1} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель равен \( (3c — 1)(3c + 1) \), это разность квадратов, то есть \( 9c^2 — 1 \).

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{c}{3c — 1} = \frac{c(3c + 1)}{(3c — 1)(3c + 1)} \) и \( \frac{c}{3c + 1} = \frac{c(3c — 1)}{(3c — 1)(3c + 1)} \).

Выполним вычитание:

\( \frac{c}{3c — 1} — \frac{c}{3c + 1} = \frac{c(3c + 1) — c(3c — 1)}{(3c — 1)(3c + 1)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( c(3c + 1) = 3c^2 + c \), и \( c(3c — 1) = 3c^2 — c \).

Подставим эти выражения в числитель:

\( 3c^2 + c — (3c^2 — c) = 3c^2 + c — 3c^2 + c = 2c \).

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{2c}{9c^2 — 1}. \)

4) \( \frac{x}{2y + 1} — \frac{x}{3y — 2} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель равен \( (2y + 1)(3y — 2) \).

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{x}{2y + 1} = \frac{x(3y — 2)}{(2y + 1)(3y — 2)} \) и \( \frac{x}{3y — 2} = \frac{x(2y + 1)}{(2y + 1)(3y — 2)} \).

Выполним вычитание:

\( \frac{x}{2y + 1} — \frac{x}{3y — 2} = \frac{x(3y — 2) — x(2y + 1)}{(2y + 1)(3y — 2)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( x(3y — 2) = 3xy — 2x \), и \( x(2y + 1) = 2xy + x \).

Подставим эти выражения в числитель:

\( 3xy — 2x — (2xy + x) = 3xy — 2x — 2xy — x = xy — 3x. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{xy — 3x}{(2y + 1)(3y — 2)}. \)